[ 2,5 pontos] Responda: Qual é o livre caminho médio lambda de moléculas de oxigênio à temperatura T=300 K e a uma pressão p=1,0 atm? Suponha que o diâmetro das moléculas é d=290pm e que o gás é ideal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o livre caminho médio ( lambda) das moléculas de oxigênio a uma temperatura de T = 300 K e uma pressão de p = 1,0 atm. O diâmetro das moléculas é dado como d = 290 , pm e estamos considerando que o gás se comporta de forma ideal. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de física dos gases e entender como calcular o livre caminho médio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o livre caminho médio ( lambda). Ele representa a distância média que uma molécula percorre antes de colidir com outra. Para gases ideais, a fórmula do livre caminho médio é:
lambda = k , Traiz2 , pi , d^2 , p
Onde:
  • k é a constante de Boltzmann ( 1,38 times 10^-23 , J/K),
  • T é a temperatura em Kelvin,
  • d é o diâmetro das moléculas,
  • p é a pressão,
  • pi é a constante pi ( approx 3,14159).

Passo 3

Vamos então listar os valores que temos:
  • T = 300 , K,
  • p = 1,0 , atm,
  • d = 290 , pm.
Precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI) para manter a consistência. Vamos converter a pressão de atm para pascal (Pa) e o diâmetro de picômetros (pm) para metros (m).
Sabemos que:
  • 1 , atm = 1,013 times 10^5 , Pa,
  • 1 , pm = 1 times 10^-12 , m.
Então:
  • p = 1,0 times 1,013 times 10^5 , Pa = 1,013 times 10^5 , Pa,
  • d = 290 times 10^-12 , m = 2,90 times 10^-10 , m.

Passo 4

Agora, vamos substituir todos esses valores na fórmula do livre caminho médio:
lambda = (1,38 times 10^-23 , J/K) times 300 , Kraiz2 times pi times (2,90 times 10^-10 , m)^2 times 1,013 times 10^5 , Pa

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calcular o numerador:
1,38 times 10^-23 times 300 = 4,14 times 10^-21 , J
  1. Calcular o denominador:
raiz2 times pi times (2,90 times 10^-10)^2 times 1,013 times 10^5 = 1,4142 times 3,1416 times 8,41 times 10^-20 times 1,013 times 10^5 approx 1,4142 times 3,1416 times 8,41 times 1,013 times 10^-15 approx 1,4142 times 3,1416 times 8,41 times 1,013 times 10^-15 approx 1,4142 times 3,1416 times 8,41 times 1,013 times 10^-15 approx 3,78 times 10^-9
  1. Finalmente, dividir o numerador pelo denominador:
lambda = 4,14 times 10^-213,78 times 10^-9 approx 1,09 times 10^-12 , m

Resposta

O livre caminho médio ( lambda) das moléculas de oxigênio nas condições dadas é aproximadamente 1,09 times 10^-12 , metros.

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