Sejam A, B e C pontos quaisquer em E^3. Prove que A B-A C=C B.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pontos , e no espaço tridimensional . O objetivo é provar que o vetor é igual ao vetor . Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades básicas de vetores, como a definição de vetores entre pontos e operações de subtração de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa . Esse vetor representa a direção e a distância do ponto até o ponto . Similarmente, é o vetor que vai do ponto até o ponto .

Passo 3

Agora, queremos calcular AB - AC = AB + (-AC) . Subtrair dois vetores equivale a adicionar o vetor oposto do segundo. Então, podemos reescrever a expressão assim:

Passo 4

Sabemos que o vetor oposto de AB + CA é . Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Agora, somando os vetores AB + CA = CB e , observamos que estamos indo do ponto para e depois de para . Isso resulta no vetor que vai diretamente de para , ou seja:

Resposta

Portanto, provamos que .

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