(2,5 pontos) Use diferenças dividias para construir os polinômios de graus 1,2 e 3 para aproximar se , e .

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: nosso objetivo é usar diferenças divididas para construir polinômios de graus 1, 2 e 3 que aproximem o valor de . Para isso, temos os seguintes pontos dados:
Vamos precisar entender como funcionam as diferenças divididas e como elas são usadas para construir os polinômios interpoladores de diferentes graus.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados em uma tabela para facilitar os cálculos. Vamos alinhar os valores de e :

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas. Começamos com as diferenças de primeira ordem, que são as diferenças simples entre os valores de divididas pela diferença correspondente de :

Passo 4

Em seguida, calculamos as diferenças de segunda ordem usando as diferenças de primeira ordem:

Passo 5

Agora, calculamos a diferença de terceira ordem:

Passo 6

Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos construir os polinômios interpoladores usando a fórmula de Newton:
Vamos construir os polinômios de grau 1, 2 e 3.

Passo 7

Polinômio de grau 1 (linear):

Passo 8

Polinômio de grau 2:

Passo 9

Polinômio de grau 3:

Resposta

Usando os polinômios construídos, aproximamos o valor de da seguinte forma:
Com o polinômio de grau 1:
Com o polinômio de grau 2:
Com o polinômio de grau 3:
Portanto, a aproximação de usando os polinômios de graus 1, 2 e 3 é aproximadamente 17,87533, 17,87893 e 17,87896, respectivamente.

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Estime os parámetros para o modelo .
61,6 53,4 25 -3
x 0,4 1,4 6,0 19,5 48,2 95,9