(2,5 pontos) Use diferenças dividias para construir os polinômios de graus 1,2 e 3 para aproximar
se
,
e
.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: nosso objetivo é usar diferenças divididas para construir polinômios de graus 1, 2 e 3 que aproximem o valor de
. Para isso, temos os seguintes pontos dados:
Vamos precisar entender como funcionam as diferenças divididas e como elas são usadas para construir os polinômios interpoladores de diferentes graus.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados em uma tabela para facilitar os cálculos. Vamos alinhar os valores de
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as diferenças divididas. Começamos com as diferenças de primeira ordem, que são as diferenças simples entre os valores de
divididas pela diferença correspondente de
:
Passo 4
Em seguida, calculamos as diferenças de segunda ordem usando as diferenças de primeira ordem:
Passo 5
Agora, calculamos a diferença de terceira ordem:
Passo 6
Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos construir os polinômios interpoladores usando a fórmula de Newton:
Vamos construir os polinômios de grau 1, 2 e 3.
Passo 7
Polinômio de grau 1 (linear):
Passo 8
Polinômio de grau 2:
Passo 9
Polinômio de grau 3:
Resposta
Usando os polinômios construídos, aproximamos o valor de
da seguinte forma:
Com o polinômio de grau 1:
Com o polinômio de grau 2:
Com o polinômio de grau 3:
Portanto, a aproximação de
usando os polinômios de graus 1, 2 e 3 é aproximadamente 17,87533, 17,87893 e 17,87896, respectivamente.