(2,5 pontos) Use diferenças dividias para construir os polinômios de graus 1,2 e 3 para aproximar f(8,4) se f(8,1)=16,94410, f(8,3)=17,56492, f(8,6)=18,50515 e f(8,7)=18,82091.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: nosso objetivo é usar diferenças divididas para construir polinômios de graus 1, 2 e 3 que aproximem o valor de . Para isso, temos os seguintes pontos dados:
Vamos precisar entender como funcionam as diferenças divididas e como elas são usadas para construir os polinômios interpoladores de diferentes graus.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados em uma tabela para facilitar os cálculos. Vamos alinhar os valores de c|c x & f(x) hline 8,1 & 16,94410 8,3 & 17,56492 8,6 & 18,50515 8,7 & 18,82091 e :

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas. Começamos com as diferenças de primeira ordem, que são as diferenças simples entre os valores de f[x0, x1] = f(x1) - f(x0)x1 - x0 = 17,56492 - 16,944108,3 - 8,1 = 0,620820,2 = 3,1041 divididas pela diferença correspondente de f[x1, x2] = 18,50515 - 17,564928,6 - 8,3 = 0,940230,3 approx 3,1341 :
f[x2, x3] = 18,82091 - 18,505158,7 - 8,6 = 0,315760,1 = 3,1576

Passo 4

Em seguida, calculamos as diferenças de segunda ordem usando as diferenças de primeira ordem:
f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] - f[x0, x1]x2 - x0 = 3,1341 - 3,10418,6 - 8,1 = 0,03000,5 = 0,0600
f[x1, x2, x3] = f[x2, x3] - f[x1, x2]x3 - x1 = 3,1576 - 3,13418,7 - 8,3 = 0,02350,4 = 0,05875

Passo 5

Agora, calculamos a diferença de terceira ordem:
f[x0, x1, x2, x3] = f[x1, x2, x3] - f[x0, x1, x2]x3 - x0 = 0,05875 - 0,06008,7 - 8,1 = -0,001250,6 approx -0,002083

Passo 6

Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos construir os polinômios interpoladores usando a fórmula de Newton:
Pn(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + dots
Vamos construir os polinômios de grau 1, 2 e 3.

Passo 7

Polinômio de grau 1 (linear):
P1(x) = f(x0) + f[x0, x1](x - x0) = 16,94410 + 3,1041(x - 8,1)

Passo 8

Polinômio de grau 2:
P2(x) = P1(x) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) = 16,94410 + 3,1041(x - 8,1) + 0,0600(x - 8,1)(x - 8,3)

Passo 9

Polinômio de grau 3:
P3(x) = P2(x) + f[x0, x1, x2, x3](x - x0)(x - x1)(x - x2) = 16,94410 + 3,1041(x - 8,1) + 0,0600(x - 8,1)(x - 8,3) - 0,002083(x - 8,1)(x - 8,3)(x - 8,6)

Resposta

Usando os polinômios construídos, aproximamos o valor de P1(8,4) = 16,94410 + 3,1041(8,4 - 8,1) = 16,94410 + 3,1041 times 0,3 approx 16,94410 + 0,93123 = 17,87533 da seguinte forma:
Com o polinômio de grau 1:
P2(8,4) = 16,94410 + 3,1041(0,3) + 0,0600(0,3)(0,2) = 16,94410 + 0,93123 + 0,0036 approx 17,87893
Com o polinômio de grau 2:
P3(8,4) = 16,94410 + 0,93123 + 0,0036 - 0,002083(0,3)(0,2)(-0,2) approx 17,87893 + 0,000025 = 17,87896
Com o polinômio de grau 3:
Portanto, a aproximação de usando os polinômios de graus 1, 2 e 3 é aproximadamente 17,87533, 17,87893 e 17,87896, respectivamente.

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