(2,5 pontos) Encontre o polinômio linear de
no intervalo de
utilizando o método dos mínimos quadrados, caso contínuo. Em todas as contas arredondar os valores deixando 3 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio linear que melhor aproxima a função
no intervalo de
usando o método dos mínimos quadrados no caso contínuo.
O que vamos precisar:
- Conhecimento básico de cálculo, especialmente integração.
- Entender como funciona o método dos mínimos quadrados para ajustar uma reta a dados contínuos.
Vamos lá aos cálculos!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio linear tem a forma
. Nosso objetivo é encontrar os coeficientes
e
que minimizam o erro quadrático entre
e
no intervalo
.
Para isso, no método dos mínimos quadrados contínuo, a gente busca minimizar a integral do quadrado da diferença entre as duas funções:
Isso nos leva a resolver um sistema de equações para encontrar
e
.
Passo 3
Expandindo a expressão dentro da integral, temos:
Para minimizar essa integral, precisamos derivar em relação a
e
e igualar a zero. Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 4
Vamos chamar essas equações de
e
:
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculemos as integrais à direita das equações
e
:
Passo 6
Agora, vamos calcular as integrais à esquerda:
Primeiro,
.
Fazendo a substituição
, então
e os limites passam a ser de
a
.
A integral fica:
Usando integração por partes para
:
Calculando de 3 a 4:
Simplificando:
Agora,
:
Calculando de 3 a 4:
Então, a integral original
fica:
Fazendo as contas:
Arredondando para 3 casas decimais:
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda integral à esquerda, que é
.
Fazendo a substituição
, então
e os limites passam a ser de
a
.
A integral fica:
Calculando numericamente:
Arredondando para 3 casas decimais:
.
Passo 8
Agora, vamos montar o sistema de equações com os valores que calculamos:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 9
Usando o método da substituição ou da eliminação, vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
Podemos multiplicar a equação (2) por 1,5 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a equação (3) da equação (1):
Resolvendo para
:
Passo 10
Agora que temos
, vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar
:
Resposta
O polinômio linear que melhor aproxima
no intervalo
pelo método dos mínimos quadrados é:
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(2,5 pontos) Dada a tabela abaixo construa o polinômio linear e calcule o erro cometido utilizando o método dos mínimos quadrados, caso discreto. Em todas as contas arredondar os valores deixando 3 casas decimais.
Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.
(2,5 pontos) Use os polinômios de Lagrange de graus 1,2 e 3 para aproximar
se
18,50515 e
(2,5 pontos) Use diferenças dividias para construir os polinômios de graus 1,2 e 3 para aproximar
se
,
e
.