(2,5 pontos) Encontre o polinômio linear de no intervalo de utilizando o método dos mínimos quadrados, caso contínuo. Em todas as contas arredondar os valores deixando 3 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio linear que melhor aproxima a função no intervalo de usando o método dos mínimos quadrados no caso contínuo.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento básico de cálculo, especialmente integração.
  • Entender como funciona o método dos mínimos quadrados para ajustar uma reta a dados contínuos.
Vamos lá aos cálculos!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio linear tem a forma . Nosso objetivo é encontrar os coeficientes e que minimizam o erro quadrático entre e no intervalo .
Para isso, no método dos mínimos quadrados contínuo, a gente busca minimizar a integral do quadrado da diferença entre as duas funções:
Isso nos leva a resolver um sistema de equações para encontrar e .

Passo 3

Expandindo a expressão dentro da integral, temos:
Para minimizar essa integral, precisamos derivar em relação a e e igualar a zero. Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos chamar essas equações de e :
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculemos as integrais à direita das equações e :

Passo 6

Agora, vamos calcular as integrais à esquerda:
Primeiro, .
Fazendo a substituição , então e os limites passam a ser de a .
A integral fica:
Usando integração por partes para :
Calculando de 3 a 4:
Simplificando:
Agora, :
Calculando de 3 a 4:
Então, a integral original fica:
Fazendo as contas:
Arredondando para 3 casas decimais: .

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral à esquerda, que é .
Fazendo a substituição , então e os limites passam a ser de a .
A integral fica:
Calculando numericamente:
Arredondando para 3 casas decimais: .

Passo 8

Agora, vamos montar o sistema de equações com os valores que calculamos:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 9

Usando o método da substituição ou da eliminação, vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
Segunda equação:
Podemos multiplicar a equação (2) por 1,5 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a equação (3) da equação (1):
Resolvendo para :

Passo 10

Agora que temos , vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar :

Resposta

O polinômio linear que melhor aproxima no intervalo pelo método dos mínimos quadrados é:

Exercícios relacionados

(2,5 pontos) Dada a tabela abaixo construa o polinômio linear e calcule o erro cometido utilizando o método dos mínimos quadrados, caso discreto. Em todas as contas arredondar os valores deixando 3 casas decimais.
Calcule a integral das seguintes funções vetoriais sobre os correspondentes intervalos.
(2,5 pontos) Use os polinômios de Lagrange de graus 1,2 e 3 para aproximar se 18,50515 e
(2,5 pontos) Use diferenças dividias para construir os polinômios de graus 1,2 e 3 para aproximar se , e .