(2,5 pontos) Encontre o polinômio linear de f(x)=ln (x+2) no intervalo de [1,2] utilizando o método dos mínimos quadrados, caso contínuo. Em todas as contas arredondar os valores deixando 3 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um polinômio linear que melhor aproxima a função no intervalo de usando o método dos mínimos quadrados no caso contínuo.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento básico de cálculo, especialmente integração.
  • Entender como funciona o método dos mínimos quadrados para ajustar uma reta a dados contínuos.
Vamos lá aos cálculos!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio linear tem a forma integral1^2 (f(x) - P(x))^2 , dx . Nosso objetivo é encontrar os coeficientes e que minimizam o erro quadrático entre e no intervalo .
Para isso, no método dos mínimos quadrados contínuo, a gente busca minimizar a integral do quadrado da diferença entre as duas funções:
Isso nos leva a resolver um sistema de equações para encontrar e .

Passo 3

Expandindo a expressão dentro da integral, temos:
integral1^2 (ln(x + 2) - a x - b)^2 , dx
Para minimizar essa integral, precisamos derivar em relação a integral1^2 (ln(x + 2) - a x - b) x , dx = 0 integral1^2 (ln(x + 2) - a x - b) , dx = 0 e e igualar a zero. Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 4

Vamos chamar essas equações de Ea: integral1^2 ln(x + 2) cdot x , dx = a integral1^2 x^2 , dx + b integral1^2 x , dx e Eb: integral1^2 ln(x + 2) , dx = a integral1^2 x , dx + b integral1^2 1 , dx :
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculemos as integrais à direita das equações integral1^2 x^2 , dx = [ x^33 ]1^2 = 83 - 13 = 73 approx 2,333 e integral1^2 x , dx = [ x^22 ]1^2 = 42 - 12 = 32 = 1,5 :
integral1^2 1 , dx = [x]1^2 = 2 - 1 = 1

Passo 6

Agora, vamos calcular as integrais à esquerda:
Primeiro, integral3^4 ln(u) cdot (u - 2) , du = integral3^4 u ln(u) , du - 2 integral3^4 ln(u) , du .
Fazendo a substituição integral u ln(u) , du = u^22 ln(u) - u^24 + C , então [ u^22 ln(u) - u^24 ]3^4 = ( 162 ln(4) - 164 ) - ( 92 ln(3) - 94 ) e os limites passam a ser de 8 ln(4) - 4 - ( 92 ln(3) - 94 ) = 8 ln(4) - 4 - 92 ln(3) + 94 a integral ln(u) , du = u ln(u) - u + C .
A integral fica:
[4 ln(4) - 4] - [3 ln(3) - 3] = 4 ln(4) - 4 - 3 ln(3) + 3 = 4 ln(4) - 3 ln(3) -1
Usando integração por partes para 8 ln(4) - 4 - 92 ln(3) + 94 - 2(4 ln(4) - 3 ln(3) -1) = ? :
8 ln(4) - 4 - 92 ln(3) + 94 - 8 ln(4) + 6 ln(3) + 2 = ( -4 + 2 + 94 ) + ( -92 ln(3) + 6 ln(3) )
Calculando de 3 a 4:
= ( -2 + 2,25 ) + ( 32 ln(3) ) = 0,25 + 1,648 = 1,898
Simplificando:
Agora, :
Calculando de 3 a 4:
Então, a integral original fica:
Fazendo as contas:
Arredondando para 3 casas decimais: .

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda integral à esquerda, que é integral3^4 ln(u) , du = [u ln(u) - u]3^4 = (4 ln(4) - 4) - (3 ln(3) - 3) = 4 ln(4) - 4 - 3 ln(3) + 3 = 4 ln(4) - 3 ln(3) -1 .
Fazendo a substituição 4 ln(4) approx 4 times 1,386 = 5,544 , então 3 ln(3) approx 3 times 1,098 = 3,294 e os limites passam a ser de 5,544 - 3,294 -1 = 1,250 a .
A integral fica:
Calculando numericamente:
Arredondando para 3 casas decimais: .

Passo 8

Agora, vamos montar o sistema de equações com os valores que calculamos:
1,898 = a times 2,333 + b times 1,5 1,250 = a times 1,5 + b times 1
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 9

Usando o método da substituição ou da eliminação, vamos resolver o sistema:
Primeira equação:
1,898 = 2,333 a + 1,5 b (1)
Segunda equação:
1,250 = 1,5 a + 1 b (2)
Podemos multiplicar a equação (2) por 1,5 para facilitar a eliminação:
1,250 times 1,5 = 1,5 times 1,5 a + 1,5 times 1 b 1,875 = 2,25 a + 1,5 b (3)
Subtraindo a equação (3) da equação (1):
1,898 - 1,875 = (2,333 a - 2,25 a) + (1,5 b - 1,5 b) 0,023 = 0,083 a
Resolvendo para a = 0,0230,083 approx 0,277 :

Passo 10

Agora que temos 1,250 = 1,5 times 0,277 + b 1,250 = 0,416 + b b = 1,250 - 0,416 = 0,834 , vamos substituir esse valor na equação (2) para encontrar :

Resposta

O polinômio linear que melhor aproxima P(x) = 0,277,x + 0,834 no intervalo pelo método dos mínimos quadrados é:

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