Suponha que a produçăo de um determinado composto Z em uma reaçāo química seja descrita por , onde e y representam concentraçōes de dois reagentes.
Por questōes de segurança, a concentraçāo dos regentes deve satisfazer à seguinte restriçāo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma reação química onde a produção do composto Z é dada por . Aqui, e são as concentrações de dois reagentes. Mas tem uma restrição de segurança que diz que . Nosso objetivo é descobrir quais valores de e vão maximizar ou minimizar a produção de Z, respeitando essa restrição.

Passo 2

Para resolver esse tipo de problema, onde queremos otimizar uma função com uma restrição , a gente usa um método chamado Multiplicadores de Lagrange. Essa técnica nos ajuda a encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, levando em conta a restrição.

Passo 3

Primeiro, vamos definir a nossa função de Lagrange, que é uma combinação da função que queremos otimizar e da restrição multiplicada por um multiplicador . Ficaria assim:
Substituindo e :

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos derivar a função de Lagrange em relação a , e , e igualar cada derivada a zero.
As derivadas parciais são:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.

Passo 6

Caso 1:
Substituindo na restrição :
Mas se , então a produção . Não é interessante porque a produção é zero.
Caso 2:
Substituindo na equação (1):

Passo 7

Agora, usamos a restrição com :
Então,

Passo 8

Com , calculamos usando :
Então,

Passo 9

Agora, temos os pontos críticos:
Vamos calcular a produção nesses pontos:

Passo 10

Interpretação dos resultados:
  • O ponto nos dá a produção máxima de aproximadamente 613,1 unidades.
  • O ponto nos dá a produção mínima de aproximadamente -613,1 unidades (conceitualmente, talvez não faça sentido negativo na produção, mas matematicamente é um mínimo).

Resposta

A produção máxima de é aproximadamente 613,1 unidades quando as concentrações são e .

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