Suponha que a produçăo de um determinado composto Z em uma reaçāo química seja descrita por f(x, y)=x cdot y^2, onde x e y representam concentraçōes de dois reagentes.
Por questōes de segurança, a concentraçāo dos regentes deve satisfazer à seguinte restriçāo: g(x, y)=x^2+y^2=136

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma reação química onde a produção do composto Z é dada por . Aqui, e são as concentrações de dois reagentes. Mas tem uma restrição de segurança que diz que . Nosso objetivo é descobrir quais valores de e vão maximizar ou minimizar a produção de Z, respeitando essa restrição.

Passo 2

Para resolver esse tipo de problema, onde queremos otimizar uma função com uma restrição , a gente usa um método chamado Multiplicadores de Lagrange. Essa técnica nos ajuda a encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, levando em conta a restrição.

Passo 3

Primeiro, vamos definir a nossa função de Lagrange, que é uma combinação da função que queremos otimizar e da restrição multiplicada por um multiplicador L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda (g(x, y) - 136) . Ficaria assim:
L(x, y, lambda) = x cdot y^2 - lambda (x^2 + y^2 - 136)
Substituindo e :

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos derivar a função de Lagrange em relação a partial Lpartial x = y^2 - 2lambda x = 0 , partial Lpartial y = 2x y - 2lambda y = 0 e partial Lpartial lambda = -(x^2 + y^2 - 136) = 0 Rightarrow x^2 + y^2 = 136 , e igualar cada derivada a zero.
As derivadas parciais são:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
y^2 = 2lambda x (1)
Da segunda equação:
2x y = 2lambda y Rightarrow 2x y - 2lambda y = 0 Rightarrow y(2x - 2lambda) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.

Passo 6

Caso 1: x^2 + 0 = 136 Rightarrow x = pm raiz136 approx pm 11,66
Substituindo na restrição y^2 = 2lambda x = 2x^2 Rightarrow y^2 = 2x^2 :
Mas se , então a produção . Não é interessante porque a produção é zero.
Caso 2:
Substituindo na equação (1):

Passo 7

Agora, usamos a restrição x^2 + 2x^2 = 136 Rightarrow 3x^2 = 136 Rightarrow x^2 = 1363 Rightarrow x = pm raiz1363 approx pm 6,75 com :
Então,

Passo 8

Com y^2 = 2 ( 1363 ) = 2723 Rightarrow y = pm raiz2723 approx pm 9,52 , calculamos usando :
Então,

Passo 9

Agora, temos os pontos críticos:
  • f(6,75, 9,52) = 6,75 times (9,52)^2 approx 6,75 times 90,75 approx 613,1
  • f(-6,75, -9,52) = (-6,75) times (-9,52)^2 approx -6,75 times 90,75 approx -613,1
Vamos calcular a produção nesses pontos:

Passo 10

Interpretação dos resultados:
  • O ponto nos dá a produção máxima de aproximadamente 613,1 unidades.
  • O ponto nos dá a produção mínima de aproximadamente -613,1 unidades (conceitualmente, talvez não faça sentido negativo na produção, mas matematicamente é um mínimo).

Resposta

A produção máxima de é aproximadamente 613,1 unidades quando as concentrações são e .

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