Suponha que a produçăo de um determinado composto Z em uma reaçāo química seja descrita por
, onde
e y representam concentraçōes de dois reagentes.
Por questōes de segurança, a concentraçāo dos regentes deve satisfazer à seguinte restriçāo:
Por questōes de segurança, a concentraçāo dos regentes deve satisfazer à seguinte restriçāo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma reação química onde a produção do composto Z é dada por
. Aqui,
e
são as concentrações de dois reagentes. Mas tem uma restrição de segurança que diz que
. Nosso objetivo é descobrir quais valores de
e
vão maximizar ou minimizar a produção de Z, respeitando essa restrição.
Passo 2
Para resolver esse tipo de problema, onde queremos otimizar uma função
com uma restrição
, a gente usa um método chamado Multiplicadores de Lagrange. Essa técnica nos ajuda a encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, levando em conta a restrição.
Passo 3
Primeiro, vamos definir a nossa função de Lagrange, que é uma combinação da função que queremos otimizar e da restrição multiplicada por um multiplicador
. Ficaria assim:
Substituindo
e
:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos derivar a função de Lagrange em relação a
,
e
, e igualar cada derivada a zero.
As derivadas parciais são:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.
Passo 6
Caso 1:
Substituindo na restrição
:
Mas se
, então a produção
. Não é interessante porque a produção é zero.
Caso 2:
Substituindo
na equação (1):
Passo 7
Agora, usamos a restrição
com
:
Então,
Passo 8
Com
, calculamos
usando
:
Então,
Passo 9
Agora, temos os pontos críticos:
Vamos calcular a produção
nesses pontos:
Passo 10
Interpretação dos resultados:
- O ponto
nos dá a produção máxima de aproximadamente 613,1 unidades. - O ponto
nos dá a produção mínima de aproximadamente -613,1 unidades (conceitualmente, talvez não faça sentido negativo na produção, mas matematicamente é um mínimo).
Resposta
A produção máxima de
é aproximadamente 613,1 unidades quando as concentrações são
e
.
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se
,
e
.
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se
18,50515 e
Considerando os dados experimentais abaixo.
Estime os parámetros para o modelo
.
Estime os parámetros
|
61,6 | 53,4 | 25 |
|
-3 |
|
x | 0,4 | 1,4 | 6,0 | 19,5 | 48,2 | 95,9 |
Problema: Integrar numericamente a função
no intervalo
.