(2,5 pontos) Use os polinômios de Lagrange de graus 1,2 e 3 para aproximar f(8,4) se f(8,1)=16,94410, f(8,3)=17,56492, f(8,6)= 18,50515 e f(8,7)=18,82091

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os polinômios de Lagrange de graus 1, 2 e 3 para aproximar o valor de . Para isso, temos os seguintes pontos dados:
O conteúdo que vamos usar aqui é a interpolação polinomial de Lagrange, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. Vamos precisar dos valores de e de para montar os polinômios de Lagrange de diferentes graus e calcular .

Passo 2

Vamos começar com o polinômio de grau 1, que é basicamente uma linha reta que passa por dois pontos. Para isso, escolhemos dois dos pontos dados. Vamos usar P1(y) = f(y0) cdot y - y1y0 - y1 + f(y1) cdot y - y0y1 - y0 e P1(y) = 16.94410 cdot y - 31 - 3 + 17.56492 cdot y - 13 - 1 .
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 1 é:
P1(y) = 16.94410 cdot y - 3-2 + 17.56492 cdot y - 12
Onde P1(4) = 16.94410 cdot 4 - 3-2 + 17.56492 cdot 4 - 12 = 16.94410 cdot ( 1-2 ) + 17.56492 cdot ( 32 ) e P1(4) = -8.47205 + 26.34738 = 17.87533 .
Substituindo os valores:
Simplificando:
Agora, vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos para o polinômio de grau 2, que usa três pontos. Vamos escolher P2(y) = f(y0) cdot (y - y1)(y - y2)(y0 - y1)(y0 - y2) + f(y1) cdot (y - y0)(y - y2)(y1 - y0)(y1 - y2) + f(y2) cdot (y - y0)(y - y1)(y2 - y0)(y2 - y1) , P2(y) = 16.94410 cdot (y - 3)(y - 6)(1 - 3)(1 - 6) + 17.56492 cdot (y - 1)(y - 6)(3 - 1)(3 - 6) + 18.50515 cdot (y - 1)(y - 3)(6 - 1)(6 - 3) e P2(y) = 16.94410 cdot (y - 3)(y - 6)(-2)(-5) + 17.56492 cdot (y - 1)(y - 6)(2)(-3) + 18.50515 cdot (y - 1)(y - 3)(5)(3) .
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 2 é:
P2(y) = 16.94410 cdot (y - 3)(y - 6)10 + 17.56492 cdot (y - 1)(y - 6)-6 + 18.50515 cdot (y - 1)(y - 3)15
Onde P2(4) = 16.94410 cdot (4 - 3)(4 - 6)10 + 17.56492 cdot (4 - 1)(4 - 6)-6 + 18.50515 cdot (4 - 1)(4 - 3)15 , P2(4) = 16.94410 cdot (1)(-2)10 + 17.56492 cdot (3)(-2)-6 + 18.50515 cdot (3)(1)15 e P2(4) = 16.94410 cdot ( -210 ) + 17.56492 cdot ( 6-6 ) + 18.50515 cdot ( 315 ) .
Substituindo os valores:
P2(4) = -3.38882 + 17.56492 + 3.70103 = 17.87613
Simplificando:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Por fim, vamos usar o polinômio de grau 3, que utiliza todos os quatro pontos disponíveis ( P3(y) = sumi=0^3 f(yi) cdot prodsubstackj=0 j neq i^3 (y - yj)(yi - yj) ).
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 3 é:
L0(y) = (y - 3)(y - 6)(y - 7)(1 - 3)(1 - 6)(1 - 7) = (y - 3)(y - 6)(y - 7)(-2)(-5)(-6) = (y - 3)(y - 6)(y - 7)-60
Onde L1(y) = (y - 1)(y - 6)(y - 7)(3 - 1)(3 - 6)(3 - 7) = (y - 1)(y - 6)(y - 7)(2)(-3)(-4) = (y - 1)(y - 6)(y - 7)24 , L2(y) = (y - 1)(y - 3)(y - 7)(6 - 1)(6 - 3)(6 - 7) = (y - 1)(y - 3)(y - 7)(5)(3)(-1) = (y - 1)(y - 3)(y - 7)-15 , L3(y) = (y - 1)(y - 3)(y - 6)(7 - 1)(7 - 3)(7 - 6) = (y - 1)(y - 3)(y - 6)(6)(4)(1) = (y - 1)(y - 3)(y - 6)24 e P3(y) = 16.94410 cdot L0(y) + 17.56492 cdot L1(y) + 18.50515 cdot L2(y) + 18.82091 cdot L3(y) .
Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Para L0(4) = (4 - 3)(4 - 6)(4 - 7)-60 = (1)(-2)(-3)-60 = 6-60 = -0.1 :
L1(4) = (4 - 1)(4 - 6)(4 - 7)24 = (3)(-2)(-3)24 = 1824 = 0.75
  1. Para L2(4) = (4 - 1)(4 - 3)(4 - 7)-15 = (3)(1)(-3)-15 = -9-15 = 0.6 :
L3(4) = (4 - 1)(4 - 3)(4 - 6)24 = (3)(1)(-2)24 = -624 = -0.25
  1. Para P3(4) = 16.94410 cdot (-0.1) + 17.56492 cdot 0.75 + 18.50515 cdot 0.6 + 18.82091 cdot (-0.25) :
P3(4) = -1.69441 + 13.17369 + 11.10309 - 4.70523 = 17.87714
  1. Para :
Agora, o polinômio de grau 3 fica:
Substituindo :
Agora, substituindo na fórmula:

Resposta

As aproximações para utilizando os polinômios de Lagrange são:
  • Grau 1:
  • Grau 2:
  • Grau 3:

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