(2,5 pontos) Use os polinômios de Lagrange de graus 1,2 e 3 para aproximar se 18,50515 e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os polinômios de Lagrange de graus 1, 2 e 3 para aproximar o valor de . Para isso, temos os seguintes pontos dados:
O conteúdo que vamos usar aqui é a interpolação polinomial de Lagrange, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. Vamos precisar dos valores de e de para montar os polinômios de Lagrange de diferentes graus e calcular .

Passo 2

Vamos começar com o polinômio de grau 1, que é basicamente uma linha reta que passa por dois pontos. Para isso, escolhemos dois dos pontos dados. Vamos usar e .
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 1 é:
Onde e .
Substituindo os valores:
Simplificando:
Agora, vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos para o polinômio de grau 2, que usa três pontos. Vamos escolher , e .
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 2 é:
Onde , e .
Substituindo os valores:
Simplificando:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Por fim, vamos usar o polinômio de grau 3, que utiliza todos os quatro pontos disponíveis ( ).
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 3 é:
Onde , , e .
Vamos calcular cada termo separadamente:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Agora, o polinômio de grau 3 fica:
Substituindo :
Agora, substituindo na fórmula:

Resposta

As aproximações para utilizando os polinômios de Lagrange são:
  • Grau 1:
  • Grau 2:
  • Grau 3:

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