(2,5 pontos) Use os polinômios de Lagrange de graus 1,2 e 3 para aproximar
se
18,50515 e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar os polinômios de Lagrange de graus 1, 2 e 3 para aproximar o valor de
. Para isso, temos os seguintes pontos dados:
O conteúdo que vamos usar aqui é a interpolação polinomial de Lagrange, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. Vamos precisar dos valores de
e de
para montar os polinômios de Lagrange de diferentes graus e calcular
.
Passo 2
Vamos começar com o polinômio de grau 1, que é basicamente uma linha reta que passa por dois pontos. Para isso, escolhemos dois dos pontos dados. Vamos usar
e
.
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 1 é:
Onde
e
.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Agora, vamos calcular
:
Passo 3
Agora, vamos para o polinômio de grau 2, que usa três pontos. Vamos escolher
,
e
.
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 2 é:
Onde
,
e
.
Substituindo os valores:
Simplificando:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Por fim, vamos usar o polinômio de grau 3, que utiliza todos os quatro pontos disponíveis (
).
A fórmula do polinômio de Lagrange de grau 3 é:
Onde
,
,
e
.
Vamos calcular cada termo separadamente:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Agora, o polinômio de grau 3 fica:
Substituindo
:
Agora, substituindo na fórmula:
Resposta
As aproximações para
utilizando os polinômios de Lagrange são:
- Grau 1:
- Grau 2:
- Grau 3: