(2, 0 pontos) Utilize o método de Laplace para encontrar o determinante da matriz .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz usando o método de Laplace. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula de expansão de Laplace e saber calcular determinantes de matrizes menores.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz A = 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & -5 0 & 3 & 4 & 2 0 & 5 & -3 & -1 :
Vamos usar a primeira linha para facilitar, já que ela tem três zeros, o que simplifica os cálculos.
Passo 3
A expansão de Laplace na primeira linha diz que o determinante de det(A) = a11 cdot C11 é igual a soma dos elementos da primeira linha multiplicados pelo cofator correspondente. Como só o primeiro elemento é diferente de zero, temos:
Onde e é o cofator do elemento .
Passo 4
Vamos calcular o cofator C11 = (-1)^1+1 cdot det(M11) = det(M11) . O cofator é dado por:
M11 = 2 & 2 & -5 3 & 4 & 2 5 & -3 & -1
Aqui, é a matriz que sobra ao remover a primeira linha e a primeira coluna de :
Passo 5
Agora, precisamos calcular o determinante de det(M11) = 2(4 cdot (-1) - 2 cdot (-3)) - 2(3 cdot (-1) - 2 cdot 5) + (-5)(3 cdot (-3) - 4 cdot 5) , que é uma matriz 3x3. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
= 2((-4) + 6) - 2((-3) -10) + (-5)((-9) -20)
Calculando cada parte:
= 2(2) - 2(-13) + (-5)(-29)
= 4 + 26 + 145
= 175
Passo 6
Voltando ao determinante de det(A) = 2 cdot 175 = 350 :