Verifique se os conjuntos
geram o mesmo subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificarmos se os dois conjuntos de vetores
e
geram o mesmo subespaço em
. Isso está relacionado ao conteúdo de subespaços vetoriais e combinações lineares. Para resolver, vamos precisar entender como verificar se dois conjuntos de vetores geram o mesmo subespaço, o que envolve ver se um conjunto de vetores pode ser escrito como combinações lineares do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o primeiro conjunto de vetores
. Queremos ver se o segundo vetor
pode ser escrito como uma combinação linear do primeiro vetor
. Ou seja, buscamos um escalar
tal que:
Vamos resolver isso componente por componente.
Passo 3
Igualando as componentes, temos:
Aqui já vemos um problema:
. Isso significa que
não pode ser escrito como uma combinação linear de
. Portanto, os vetores do primeiro conjunto são linearmente independentes, e o subespaço gerado por eles é um plano em
.
Passo 4
Agora, vamos analisar o segundo conjunto
. Queremos verificar se esses vetores também são linearmente independentes e se o subespaço que eles geram é o mesmo que o primeiro.
Primeiro, verificamos se
pode ser escrito como uma combinação linear de
. Procuramos um escalar
tal que:
Vamos resolver isso componente por componente.
Passo 5
Igualando as componentes, temos:
Assim como no primeiro conjunto, não conseguimos encontrar um
que satisfaça todas as equações. Portanto, os vetores do segundo conjunto também são linearmente independentes e geram um plano em
.
Passo 6
Para verificar se os dois planos são o mesmo, precisamos ver se os vetores de um conjunto podem ser expressos como combinações lineares dos vetores do outro conjunto. Vamos tentar expressar os vetores do primeiro conjunto em termos do segundo.
Vamos procurar scalars
e
tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 7
Primeiro, subtraímos a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Agora, verificamos na terceira equação:
Isso significa que não existe combinação linear dos vetores do segundo conjunto que resulte em
. Portanto, os subespaços gerados pelos dois conjuntos não são o mesmo.
Resposta
Os conjuntos
e
não geram o mesmo subespaço de
.
Exercícios relacionados
( 0,25 pontos) Explique se o sistema de equações lineares em questão é possível e determinado.
Determine as seguintes matrizes:
(a) tal que
.
(a)
(1,5 pontos) Encontre, se possível, a matriz inversa de
.
(2, 0 pontos) Utilize o método de Laplace para encontrar o determinante da matriz
.