Uma população de bactérias é de 4000 no tempo t=0 e sua taxa de crescimento é de 1000 cdot 2^t bactérias por hora depois de t horas. Qual é a população depois de uma hora?

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse problema! Temos uma população inicial de 4000 bactérias no tempo e uma taxa de crescimento de bactérias por hora. Nosso objetivo é descobrir quantas bactérias teremos depois de uma hora. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de crescimento e integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a taxa de crescimento dada por . Isso indica quantas bactérias estão sendo adicionadas por hora em um determinado tempo . Para encontrar a população total após uma hora, vamos somar a população inicial com o total de bactérias que cresceram nesse período.

Passo 3

Para calcular o total de bactérias que cresceram em uma hora, vamos integrar a taxa de crescimento de integral0^1 1000 cdot 2^t , dt até . A integral da taxa de crescimento nos dará o total de bactérias adicionadas nesse intervalo de tempo.
A integral que vamos resolver é:

Passo 4

Vamos resolver a integral 1000 cdot [ 2^tln 2 ]0^1 = 1000 cdot ( 2^1ln 2 - 2^0ln 2 ) . A antiderivada de 1000 cdot ( 2 - 1ln 2 ) = 1000ln 2 é , onde é o logaritmo natural. Portanto, a integral fica:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor numérico dessa expressão. Sabemos que 10000,6931 approx 1442,7 , então:
Isso significa que, em uma hora, aproximadamente 1442,7 bactérias foram adicionadas à população inicial.

Resposta

Depois de uma hora, a população de bactérias será de aproximadamente 5443 bactérias.

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