Uma população de bactérias é de 4000 no tempo
e sua taxa de crescimento é de
bactérias por hora depois de
horas. Qual é a população depois de uma hora?
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse problema! Temos uma população inicial de 4000 bactérias no tempo
e uma taxa de crescimento de
bactérias por hora. Nosso objetivo é descobrir quantas bactérias teremos depois de uma hora. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a taxas de crescimento e integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a taxa de crescimento dada por
. Isso indica quantas bactérias estão sendo adicionadas por hora em um determinado tempo
. Para encontrar a população total após uma hora, vamos somar a população inicial com o total de bactérias que cresceram nesse período.
Passo 3
Para calcular o total de bactérias que cresceram em uma hora, vamos integrar a taxa de crescimento de
até
. A integral da taxa de crescimento nos dará o total de bactérias adicionadas nesse intervalo de tempo.
A integral que vamos resolver é:
Passo 4
Vamos resolver a integral
. A antiderivada de
é
, onde
é o logaritmo natural. Portanto, a integral fica:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor numérico dessa expressão. Sabemos que
, então:
Isso significa que, em uma hora, aproximadamente 1442,7 bactérias foram adicionadas à população inicial.
Resposta
Depois de uma hora, a população de bactérias será de aproximadamente 5443 bactérias.