Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
6.
é a superfície da caixa de vértices
6.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é a caixa com vértices nos pontos
.
Para isso, vamos usar o Teorema do Divergente, que nos ajuda a transformar a integral de superfície em uma integral de volume, facilitando os cálculos. Vamos precisar saber como calcular o divergente de um campo vetorial e configurar a integral de volume sobre a caixa dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial
. O divergente de
, denotado por
, é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Somando essas derivadas, temos:
Passo 3
Agora que temos o divergente, vamos configurar a integral de volume para calcular o fluxo:
A região
é a caixa com limites:
Passo 4
Vamos integrar
sobre essas variáveis separadamente. Observando que a função
é ímpar em
(pois
tem potência ímpar) e par em
, mas o intervalo de
é simétrico em torno de zero (
a
), a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero.
Isso significa que:
Resposta
O fluxo de
através de
é igual a 0.