Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície
; ou seja, calcule o fluxo de
através de
.
6.
é a superfície da caixa de vértices
6.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é a caixa com vértices nos pontos
.
Para isso, vamos usar o Teorema do Divergente, que nos ajuda a transformar a integral de superfície em uma integral de volume, facilitando os cálculos. Vamos precisar saber como calcular o divergente de um campo vetorial e configurar a integral de volume sobre a caixa dada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial
. O divergente de
, denotado por
, é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Somando essas derivadas, temos:
Passo 3
Agora que temos o divergente, vamos configurar a integral de volume para calcular o fluxo:
A região
é a caixa com limites:
Passo 4
Vamos integrar
sobre essas variáveis separadamente. Observando que a função
é ímpar em
(pois
tem potência ímpar) e par em
, mas o intervalo de
é simétrico em torno de zero (
a
), a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero.
Isso significa que:
Resposta
O fluxo de
através de
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes integrais:
b) .
b)
Uma população de bactérias é de 4000 no tempo
e sua taxa de crescimento é de
bactérias por hora depois de
horas. Qual é a população depois de uma hora?
Suponha que 2,00 mols de um gás ideal diatômico, com rotaçảo molecular, mas sem oscilaçăo, sofrem um aumento de temperatura de
em condiçôes de pressão constante. ( 5,0 pontos) Calcule:
b- A variação Eint da energia interna do gás;
b- A variação
Suponha que 2,00 mols de um gás ideal diatômico, com rotaçảo molecular, mas sem oscilaçăo, sofrem um aumento de temperatura de
em condiçôes de pressão constante. ( 5,0 pontos) Calcule:
c- O trabalho W realizado pelo gảs:
c- O trabalho W realizado pelo gảs: