Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
6. F(x, y, z)=x^2 z^3 i+2 x y z^3 j+x z^4 k, S é a superfície da caixa de vértices ( pm 1, pm 2, pm 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície , que é a caixa com vértices nos pontos .
Para isso, vamos usar o Teorema do Divergente, que nos ajuda a transformar a integral de superfície em uma integral de volume, facilitando os cálculos. Vamos precisar saber como calcular o divergente de um campo vetorial e configurar a integral de volume sobre a caixa dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do campo vetorial nabla cdot F = partialpartial x(x^2 z^3) + partialpartial y(2 x y z^3) + partialpartial z(x z^4) . O divergente de partialpartial x(x^2 z^3) = 2x z^3 , denotado por partialpartial y(2 x y z^3) = 2x z^3 , é dado por:
partialpartial z(x z^4) = 4x z^3
Vamos calcular cada derivada parcial:
nabla cdot F = 2x z^3 + 2x z^3 + 4x z^3 = 8x z^3
Somando essas derivadas, temos:

Passo 3

Agora que temos o divergente, vamos configurar a integral de volume para calcular o fluxo:
integral duplaS F cdot d S = integral triplaV nabla cdot F , dV = integral triplaV 8x z^3 , dV
A região -1 <= x <= 1, -2 <= y <= 2, -3 <= z <= 3 é a caixa com limites:

Passo 4

Vamos integrar integral triplaV 8x z^3 , dV = 0 sobre essas variáveis separadamente. Observando que a função é ímpar em (pois tem potência ímpar) e par em , mas o intervalo de é simétrico em torno de zero ( a ), a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero.
Isso significa que:

Resposta

O fluxo de através de é igual a 0.

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