A população P de uma colônia de bactérias t dias após ser iniciado um experimento pode ser modelada pela função cúbica
P(t)=1,035 t^3+103,5 t^2+6.900 t+230.000
Determine e interprete a derivada P'(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o enunciado que fala sobre a população P(t) de uma colônia de bactérias ao longo de t dias, dada pela função cúbica:
O conteúdo que vamos precisar aqui é cálculo, especificamente derivadas. A derivada vai nos ajudar a entender como a população está mudando a cada dia. Vamos determinar a derivada P'(t) e depois interpretar o que ela significa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, que nesse caso é o tempo t. Isso significa que P'(t) vai nos mostrar quão rápido a população de bactérias está crescendo ou diminuindo em cada dia.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de cada termo da função P(t) separadamente. A regra básica para derivar uma função do tipo é:

Passo 4

Aplicando essa regra a cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para a constante :
    A derivada de uma constante é zero:

Passo 5

Agora, somamos todas as derivadas dos termos para obter P'(t):

Passo 6

Vamos interpretar o que significa essa derivada. P'(t) nos dá a quantidade de bactérias que estão se adicionando à população a cada dia após t dias. Portanto, se quisermos saber quão rápido a população está crescendo em um dia específico, basta substituir o valor de t na derivada.

Resposta

A derivada da função é:
Essa expressão representa a taxa de variação da população de bactérias em relação ao tempo, indicando quantas bactérias estão sendo adicionadas por dia após t dias.

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