A população
de uma colônia de bactérias
dias após ser iniciado um experimento pode ser modelada pela função cúbica
Determine e interprete a derivada
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o enunciado que fala sobre a população
de uma colônia de bactérias ao longo de
dias, dada pela função cúbica:
O conteúdo que vamos precisar aqui é cálculo, especificamente derivadas. A derivada vai nos ajudar a entender como a população está mudando a cada dia. Vamos determinar a derivada
e depois interpretar o que ela significa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a uma variável, que nesse caso é o tempo
. Isso significa que
vai nos mostrar quão rápido a população de bactérias está crescendo ou diminuindo em cada dia.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de cada termo da função
separadamente. A regra básica para derivar uma função do tipo
é:
Passo 4
Aplicando essa regra a cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para a constante
:
A derivada de uma constante é zero:
Passo 5
Agora, somamos todas as derivadas dos termos para obter
:
Passo 6
Vamos interpretar o que significa essa derivada.
nos dá a quantidade de bactérias que estão se adicionando à população a cada dia após
dias. Portanto, se quisermos saber quão rápido a população está crescendo em um dia específico, basta substituir o valor de
na derivada.
Resposta
A derivada da função é:
Essa expressão representa a taxa de variação da população de bactérias em relação ao tempo, indicando quantas bactérias estão sendo adicionadas por dia após
dias.
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Calcule a derivada das funções abaixo.
Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique sua resposta.