Uma porta de acesso, de 1 m de largura e 1,5 m de altura, está localizada em uma parede plana e vertical de um tanque de água. A porta é articulada ao longo da sua borda superior que está 1 m abaixo da superfície da água. A pressão atmosférica atua na superfície externa da porta.
b. Se a pressão manométrica na superfície da água for de 0,5 atm, que força mínima deve ser aplicada na borda inferior da porta de forma a mantê-la fechada? R: F=5 2 , 6 k N

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma porta de 1 metro de largura e 1,5 metros de altura, instalada em uma parede vertical de um tanque d’água. A parte de cima da porta está articulada a 1 metro abaixo da superfície da água. A pressão atmosférica está agindo na parte externa da porta. Sabemos que a pressão manométrica na superfície da água é de 0,5 atm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força mínima que precisamos aplicar na borda inferior da porta para mantê-la fechada. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática de fluidos e pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a pressão que a água exerce na porta. A pressão em um ponto em um fluido em equilíbrio é dada pela fórmula:
P = P0 + rho g h
Aqui, é a pressão total no ponto, é a pressão atmosférica, é a densidade da água, é a aceleração da gravidade, e é a profundidade abaixo da superfície.
Como a pressão manométrica na superfície da água é de 0,5 atm, isso significa que .

Passo 3

Vamos calcular a pressão exercida pela água no fundo da porta. A profundidade total é a distância da superfície da água até a borda inferior da porta. A porta tem 1,5 metros de altura e a borda superior está 1 metro abaixo da superfície, então a borda inferior está:
h = 1 , m + 1,5 , m = 2,5 , m
Usando a fórmula da pressão:
P = 0,5 , atm + rho g h
Sabendo que 1 , atm = 101325 , Pa (densidade da água) é aproximadamente P = 0,5 times 101325 , Pa + 1000 times 9,81 times 2,5 e P = 50662,5 , Pa + 24525 , Pa , precisamos converter 0,5 atm para Pascals para manter as unidades consistentes:
P = 75187,5 , Pa
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a força que essa pressão exerce na porta. A força é dada por:
F = P times A
Onde A = 1 , m times 1,5 , m = 1,5 , m^2 é a área da porta. A largura da porta é 1 metro e a altura é 1,5 metros, então:
F = 75187,5 , Pa times 1,5 , m^2
Substituindo os valores:
F = 112781,25 , N

Passo 5

Como a porta está articulada na parte superior, a força calculada está distribuída de forma que o momento resultante precisa ser balanceado para manter a porta fechada. A força mínima que precisamos aplicar na borda inferior para equilibrar essa pressão é igual à força calculada:
F = 112781,25 , N
Convertendo para quilonewtons (kN):
F = 112,78125 , kN
Arredondando, temos aproximadamente:
F approx 112,8 , kN
No entanto, parece haver uma discrepância com a resposta fornecida. Vamos revisar os cálculos para garantir a precisão.

Passo 6

Revisando os cálculos, percebemos que a pressão total no fundo da porta deveria considerar apenas a diferença de pressão que a água exerce em relação à pressão atmosférica, já que a pressão externa é a atmosférica. Assim, a força necessária para manter a porta fechada seria apenas devido à pressão hidrostática da água.
Portanto, recalculando a força:
De
F = 24525 , Pa times 1,5 , m^2 = 36787,5 , N
F = 36,7875 , kN
Parece que ainda há uma diferença. Considerando que a força é aplicada na média da altura da porta, para calcular o momento corretamente:
Centro de pressão = h2 = 1,25 , m ã
F times 1 , m = 24525 , Pa times 1,5 , m^2 times 0,75 , m
F = 24525 times 1,5 times 0,751 = 27593,75 , N
F approx 27,6 , kN
Ainda não chegamos à resposta de 52,6 kN. Parece que a pergunta pode envolver considerações adicionais, como o momento total devido à pressão distribuída e a alavanca criada pela altura da porta. Vamos reconsiderar os cálculos levando isso em conta.

Passo 7

A força hidrostática resultante age no centro de pressão da porta, que para uma porta vertical é a metade da altura. Portanto, o momento devido à força hidrostática é:
Mhidrostática = Presuá
Essa força deve ser equilibrada pela força aplicada na borda inferior com uma alavanca de 1,5 metros (altura da porta). Assim:
F times 1,5 = Presu
F = Presu
F = 24525 times 0,75 = 18393,75 , N
F approx 18,4 , kN
Ainda não chegamos à resposta esperada. Pode ser que a pressão manométrica tenha sido mal interpretada ou que haja outros fatores a considerar.

Passo 8

Reavaliando a pressão manométrica, se a pressão na superfície é de 0,5 atm, então a pressão absoluta na superfície é:
Psuperfície = 0,5 times 101325 = 50662,5 , Pa í
A pressão total no fundo da porta é:
Ptotal = 50662,5 + 1000 times 9,81 times 2,5 = 50662,5 + 24525 = 75187,5 , Pa
A pressão diferencial é:
De
De
O sinal negativo indica que a pressão interna é menor, mas estamos interessados na força para manter a porta fechada, então consideramos o valor absoluto:
De
Calculando a força:
F = De
F approx 39,2 , kN
Ainda não chegamos a 52,6 kN, mas estamos nos aproximando.

Passo 9

Para alcançar a resposta fornecida de 52,6 kN, vamos considerar que a força aplicada deve equilibrar o momento gerado pela pressão hidrostática em relação ao ponto de articulação na parte superior da porta.
A força hidrostática resulta em um momento:
M = DeÁ
M = 26137,5 times 1,5 times 1,52
M = 26137,5 times 1,5 times 0,75 = 29557,03125 , Ncdotm
A força que precisamos aplicar na borda inferior cria o momento:
M = F times a
29557,03125 = F times 1,5
F = 29557,031251,5
F approx 19704,69 , N
F approx 19,7 , kN
Ainda não estamos chegando a 52,6 kN. Pode ser que haja uma interpretação diferente da pressão manométrica ou que a pressão externa também esteja contribuindo. Sem mais informações, nosso cálculo atinge aproximadamente 19,7 kN.

Resposta

A força mínima que deve ser aplicada na borda inferior da porta para mantê-la fechada é aproximadamente .

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