Uma porta de acesso, de 1 m de largura e
de altura, está localizada em uma parede plana e vertical de um tanque de água. A porta é articulada ao longo da sua borda superior que está 1 m abaixo da superfície da água. A pressão atmosférica atua na superfície externa da porta.
b. Se a pressão manométrica na superfície da água for de
, que força mínima deve ser aplicada na borda inferior da porta de forma a mantê-la fechada?
b. Se a pressão manométrica na superfície da água for de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma porta de 1 metro de largura e 1,5 metros de altura, instalada em uma parede vertical de um tanque d’água. A parte de cima da porta está articulada a 1 metro abaixo da superfície da água. A pressão atmosférica está agindo na parte externa da porta. Sabemos que a pressão manométrica na superfície da água é de 0,5 atm. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força mínima que precisamos aplicar na borda inferior da porta para mantê-la fechada. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática de fluidos e pressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a pressão que a água exerce na porta. A pressão em um ponto em um fluido em equilíbrio é dada pela fórmula:
Aqui,
é a pressão total no ponto,
é a pressão atmosférica,
é a densidade da água,
é a aceleração da gravidade, e
é a profundidade abaixo da superfície.
Como a pressão manométrica na superfície da água é de 0,5 atm, isso significa que
.
Passo 3
Vamos calcular a pressão exercida pela água no fundo da porta. A profundidade total é a distância da superfície da água até a borda inferior da porta. A porta tem 1,5 metros de altura e a borda superior está 1 metro abaixo da superfície, então a borda inferior está:
Usando a fórmula da pressão:
Sabendo que
(densidade da água) é aproximadamente
e
, precisamos converter 0,5 atm para Pascals para manter as unidades consistentes:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a força que essa pressão exerce na porta. A força é dada por:
Onde
é a área da porta. A largura da porta é 1 metro e a altura é 1,5 metros, então:
Substituindo os valores:
Passo 5
Como a porta está articulada na parte superior, a força calculada está distribuída de forma que o momento resultante precisa ser balanceado para manter a porta fechada. A força mínima que precisamos aplicar na borda inferior para equilibrar essa pressão é igual à força calculada:
Convertendo para quilonewtons (kN):
Arredondando, temos aproximadamente:
No entanto, parece haver uma discrepância com a resposta fornecida. Vamos revisar os cálculos para garantir a precisão.
Passo 6
Revisando os cálculos, percebemos que a pressão total no fundo da porta deveria considerar apenas a diferença de pressão que a água exerce em relação à pressão atmosférica, já que a pressão externa é a atmosférica. Assim, a força necessária para manter a porta fechada seria apenas devido à pressão hidrostática da água.
Portanto, recalculando a força:
Parece que ainda há uma diferença. Considerando que a força é aplicada na média da altura da porta, para calcular o momento corretamente:
Ainda não chegamos à resposta de 52,6 kN. Parece que a pergunta pode envolver considerações adicionais, como o momento total devido à pressão distribuída e a alavanca criada pela altura da porta. Vamos reconsiderar os cálculos levando isso em conta.
Passo 7
A força hidrostática resultante age no centro de pressão da porta, que para uma porta vertical é a metade da altura. Portanto, o momento devido à força hidrostática é:
Essa força deve ser equilibrada pela força aplicada na borda inferior com uma alavanca de 1,5 metros (altura da porta). Assim:
Ainda não chegamos à resposta esperada. Pode ser que a pressão manométrica tenha sido mal interpretada ou que haja outros fatores a considerar.
Passo 8
Reavaliando a pressão manométrica, se a pressão na superfície é de 0,5 atm, então a pressão absoluta na superfície é:
A pressão total no fundo da porta é:
A pressão diferencial é:
O sinal negativo indica que a pressão interna é menor, mas estamos interessados na força para manter a porta fechada, então consideramos o valor absoluto:
Calculando a força:
Ainda não chegamos a 52,6 kN, mas estamos nos aproximando.
Passo 9
Para alcançar a resposta fornecida de 52,6 kN, vamos considerar que a força aplicada deve equilibrar o momento gerado pela pressão hidrostática em relação ao ponto de articulação na parte superior da porta.
A força hidrostática resulta em um momento:
A força que precisamos aplicar na borda inferior cria o momento:
Ainda não estamos chegando a 52,6 kN. Pode ser que haja uma interpretação diferente da pressão manométrica ou que a pressão externa também esteja contribuindo. Sem mais informações, nosso cálculo atinge aproximadamente 19,7 kN.
Resposta
A força mínima que deve ser aplicada na borda inferior da porta para mantê-la fechada é aproximadamente
.
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