A posição angular de um ponto de uma roda é dada por theta=2,0+4,0 t^2+ 2,0 r^3, em que theta está em radianos e t em segundos. Em t=0, qual é (a) a posição e (b) qual a velocidade angular do ponto?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a posição angular de um ponto numa roda, dada pela equação theta = 2,0 + 4,0 t^2 + 2,0 t^3, onde theta está em radianos e t em segundos. A pergunta quer saber, quando t = 0:
(a) qual é a posição angular do ponto?
(b) qual é a velocidade angular desse ponto?
Vamos precisar entender de cinemática angular, que é o estudo do movimento rotacional sem considerar as forças que o causam. Para resolver isso, vamos calcular a posição e a velocidade angular no instante inicial ( t = 0).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): qual é a posição angular do ponto quando t = 0.
A posição angular é dada pela fórmula:
theta = 2,0 + 4,0 t^2 + 2,0 t^3
Para encontrar a posição no tempo t = 0, substituímos t por 0 na equação:
theta = 2,0 + 4,0 (0)^2 + 2,0 (0)^3
Simplificando:
theta = 2,0 + 0 + 0 = 2,0 radianos

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): qual é a velocidade angular do ponto quando t = 0.
A velocidade angular ( omega) é a taxa de variação da posição angular em relação ao tempo. Matematicamente, isso é dado pela derivada de theta em relação a t:
omega = dthetadt
Então, vamos derivar a função posição:
theta = 2,0 + 4,0 t^2 + 2,0 t^3
A derivada de cada termo é:
  • A derivada de 2,0 é 0 (constante).
  • A derivada de 4,0 t^2 é 8,0 t.
  • A derivada de 2,0 t^3 é 6,0 t^2.
Portanto:
omega = 0 + 8,0 t + 6,0 t^2 = 8,0 t + 6,0 t^2
Agora, substituímos t = 0 para encontrar a velocidade angular no instante inicial:
omega = 8,0 (0) + 6,0 (0)^2 = 0 + 0 = 0 rad/s

Resposta

(a) A posição angular do ponto em t = 0 é 2,0 radianos.
(b) A velocidade angular do ponto em t = 0 é 0 rad/s.

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