A posição angular de um ponto de uma roda é dada por
, em que
está em radianos e t em segundos. Em
, qual é (a) a posição e (b) qual a velocidade angular do ponto?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a posição angular de um ponto numa roda, dada pela equação
, onde
está em radianos e
em segundos. A pergunta quer saber, quando
:
(a) qual é a posição angular do ponto?
(b) qual é a velocidade angular desse ponto?
Vamos precisar entender de cinemática angular, que é o estudo do movimento rotacional sem considerar as forças que o causam. Para resolver isso, vamos calcular a posição e a velocidade angular no instante inicial (
).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): qual é a posição angular do ponto quando
.
A posição angular é dada pela fórmula:
Para encontrar a posição no tempo
, substituímos
por
na equação:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): qual é a velocidade angular do ponto quando
.
A velocidade angular (
) é a taxa de variação da posição angular em relação ao tempo. Matematicamente, isso é dado pela derivada de
em relação a
:
Então, vamos derivar a função posição:
A derivada de cada termo é:
- A derivada de
é (constante). - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Portanto:
Agora, substituímos
para encontrar a velocidade angular no instante inicial:
Resposta
(a) A posição angular do ponto em
é
radianos.
(b) A velocidade angular do ponto em
é
rad/s.