A posição angular de um ponto de uma roda é dada por , em que está em radianos e t em segundos. Em , qual é (a) a posição e (b) qual a velocidade angular do ponto?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a posição angular de um ponto numa roda, dada pela equação , onde está em radianos e em segundos. A pergunta quer saber, quando :
(a) qual é a posição angular do ponto?
(b) qual é a velocidade angular desse ponto?
Vamos precisar entender de cinemática angular, que é o estudo do movimento rotacional sem considerar as forças que o causam. Para resolver isso, vamos calcular a posição e a velocidade angular no instante inicial ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): qual é a posição angular do ponto quando .
A posição angular é dada pela fórmula:
Para encontrar a posição no tempo , substituímos por na equação:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): qual é a velocidade angular do ponto quando .
A velocidade angular ( ) é a taxa de variação da posição angular em relação ao tempo. Matematicamente, isso é dado pela derivada de em relação a :
Então, vamos derivar a função posição:
A derivada de cada termo é:
  • A derivada de é (constante).
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Portanto:
Agora, substituímos para encontrar a velocidade angular no instante inicial:

Resposta

(a) A posição angular do ponto em é radianos.
(b) A velocidade angular do ponto em é rad/s.

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Relógio Dom Seg Ter Qua Qui Sex Sáb
A
B
C
D
E