A posição angular de um ponto de uma roda é dada por
, em que
está em radianos e t em segundos. Qual é © a velocidade angular e (d) a aceleração angular em
s? (e) A aceleração angular da roda é constante?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento angular! A gente tem a posição angular de um ponto na roda dada por
, onde
está em radianos e
em segundos. Precisamos encontrar:
- © A velocidade angular em
s. - (d) A aceleração angular em
s. - (e) Se a aceleração angular da roda é constante.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas que nos dão a velocidade e a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular
, que é a primeira derivada da posição angular
em relação ao tempo
. A derivada nos diz como a posição está mudando a cada instante.
Dada:
A derivada de
em relação a
é:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade angular em
s substituindo
na expressão de
:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a aceleração angular
, que é a segunda derivada da posição angular
ou a primeira derivada da velocidade angular
.
Usando a expressão de
:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a aceleração angular em
s substituindo
na expressão de
:
Passo 6
Por fim, vamos verificar se a aceleração angular é constante. Olhando a expressão de
:
Vemos que
depende de
, ou seja, ela muda conforme o tempo aumenta. Portanto, a aceleração angular não é constante.
Resposta
© A velocidade angular em
s é 128 rad/s.
(d) A aceleração angular em
s é 56 rad/s².
(e) A aceleração angular da roda não é constante.