A posição angular de um ponto de uma roda é dada por theta=2,0+4,0 t^2+ 2,0 r^3, em que theta está em radianos e t em segundos. Qual é © a velocidade angular e (d) a aceleração angular em t=4,0 s? (e) A aceleração angular da roda é constante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento angular! A gente tem a posição angular de um ponto na roda dada por , onde está em radianos e em segundos. Precisamos encontrar:
  • © A velocidade angular em s.
  • (d) A aceleração angular em s.
  • (e) Se a aceleração angular da roda é constante.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas que nos dão a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular theta(t) = 2,0 + 4,0 t^2 + 2,0 t^3 , que é a primeira derivada da posição angular omega(t) = dthetadt = ddt(2,0) + ddt(4,0 t^2) + ddt(2,0 t^3) em relação ao tempo omega(t) = 0 + 8,0 t + 6,0 t^2 = 8,0 t + 6,0 t^2 . A derivada nos diz como a posição está mudando a cada instante.
Dada:
A derivada de em relação a é:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade angular em omega(4,0) = 8,0 times 4,0 + 6,0 times (4,0)^2 = 32 + 6,0 times 16 = 32 + 96 = 128 rad/s s substituindo na expressão de :

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a aceleração angular omega(t) = 8,0 t + 6,0 t^2 , que é a segunda derivada da posição angular alpha(t) = domegadt = ddt(8,0 t) + ddt(6,0 t^2) = 8,0 + 12,0 t ou a primeira derivada da velocidade angular .
Usando a expressão de :
A derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a aceleração angular em alpha(4,0) = 8,0 + 12,0 times 4,0 = 8,0 + 48,0 = 56 rad/s^2 s substituindo na expressão de :

Passo 6

Por fim, vamos verificar se a aceleração angular é constante. Olhando a expressão de alpha(t) = 8,0 + 12,0 t :
Vemos que depende de , ou seja, ela muda conforme o tempo aumenta. Portanto, a aceleração angular não é constante.

Resposta

© A velocidade angular em s é 128 rad/s.
(d) A aceleração angular em s é 56 rad/s².
(e) A aceleração angular da roda não é constante.

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