A posição angular em radianos de um ponto em uma roda é dada por theta(t)=pi+4 pi t^3, quando t é dado em segundos. Determine as equações para (a) a velocidade angular

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função que descreve a posição angular de um ponto numa roda ao longo do tempo:
theta(t) = pi + 4pi t^3
Aqui, está em radianos e em segundos. O que precisamos fazer é encontrar a velocidade angular, que representa quão rápido a posição angular está mudando em relação ao tempo. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente a derivada, que nos dá a taxa de variação de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade angular v(t) = dtheta(t)dt é a derivada da posição angular em relação ao tempo . Ou seja:
Então, nosso objetivo é calcular essa derivada da função .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função separadamente. A derivada de uma constante é zero, então:
ddt(pi) = 0
Agora, para o segundo termo , usamos a regra do poder, que diz que , onde é uma constante.

Passo 4

Aplicando a regra do poder:
ddt(4pi t^3) = 4pi cdot 3t^2 = 12pi t^2
Então, a derivada total da função v(t) = 0 + 12pi t^2 = 12pi t^2 é:

Resposta

A velocidade angular é dada por:
v(t) = 12pi t^2

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