A posição de um avião durante a decolagem em uma pista reta é dada por:
onde
é medido em metros, e
em segundos. Encontre a velocidade do avião em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um avião que está decolando e a posição dele na pista é dada pela fórmula $ x = k t^{2} $, onde $ k = 1,2 , \mathrm{m/s^{2}} $, $ x $ é a posição em metros e $ t $ é o tempo em segundos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade do avião nos instantes de $ t = 4 , \mathrm{s} $ e $ t = 10 , \mathrm{s} $. Para isso, vamos usar o conteúdo de cinemática, especificamente a relação entre posição e velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é representado pela derivada da posição em relação ao tempo. Então, se temos $ x = k t^{2} $, a velocidade $ v $ será:
Passo 3
Vamos calcular essa derivada. Derivar $ x = k t^{2} $ em relação ao $ t $ significa multiplicar o expoente pelo coeficiente e diminuir o expoente em 1. Então:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade, podemos substituir $ k = 1,2 , \mathrm{m/s^{2}} $ e os valores de tempo $ t = 4 , \mathrm{s} $ e $ t = 10 , \mathrm{s} $ para encontrar as velocidades nos instantes desejados.
Passo 5
Vamos calcular para $ t = 4 , \mathrm{s} $:
Passo 6
Agora, para $ t = 10 , \mathrm{s} $:
Resposta
A velocidade do avião em $ t = 4 , \mathrm{s} $ é 9,6 m/s e em $ t = 10 , \mathrm{s} $ é 24,0 m/s.