A posição de uma partícula ao longo de um eixo é descrita pela função:
s(t)=t^3-6 t^2+9 t+4
onde s(t) está em metros e t em segundos.
Determine a velocidade média da partícula no intervalo t=0 s até t=3 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que descreve a posição de uma partícula ao longo do tempo:
s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 4
O que queremos encontrar é a velocidade média dessa partícula no intervalo de tempo de t = 0 segundos até t = 3 segundos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados à velocidade média.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a velocidade média. A velocidade média em um intervalo de tempo é calculada pela variação da posição dividida pela variação do tempo. A fórmula é:
vmédia = s(t2) - s(t1)t2 - t1 é
Onde:
  • s(t2) é a posição no tempo final,
  • s(t1) é a posição no tempo inicial,
  • t2 e t1 são os instantes finais e iniciais, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular a posição da partícula no tempo inicial, que é t = 0 segundos. Substituindo na função:
s(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 9(0) + 4 = 0 - 0 + 0 + 4 = 4 metros

Passo 4

Agora, vamos calcular a posição da partícula no tempo final, que é t = 3 segundos. Substituindo na função:
s(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 4 = 27 - 54 + 27 + 4 = 4 metros

Passo 5

Com as posições nos dois instantes, podemos calcular a velocidade média usando a fórmula que mencionamos:
vmédia = s(3) - s(0)3 - 0 = 4 - 43 = 03 = 0 m/s é

Resposta

A velocidade média da partícula no intervalo de t = 0 s até t = 3 s é 0 metros por segundo.

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