A posição de uma partícula ao longo de um eixo é descrita pela função:
onde
está em metros e t em segundos.
Calcule a velocidade instantânea da partícula no instante
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Calcule a velocidade instantânea da partícula no instante
Passo 1
Então, a gente tem a posição de uma partícula ao longo do tempo dada pela função $ s(t) = t^{3} - 6t^{2} + 9t + 4 $, onde $ s(t) $ está em metros e $ t $ em segundos. O objetivo aqui é calcular a velocidade instantânea da partícula no instante $ t = 2 $ segundos. Para isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, mais especificamente a derivada da função posição em relação ao tempo, que nos dá a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular $ v(t) = \frac{ds}{dt} $.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da função $ s(t) $:
- A derivada de $ t^{3} $ é $ 3t^{2} $.
- A derivada de $ -6t^{2} $ é $ -12t $.
- A derivada de $ 9t $ é $ 9 $.
- A derivada de uma constante, como $ 4 $, é $ 0 $.
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora que temos a função da velocidade, vamos substituir $ t = 2 $ segundos nela para encontrar a velocidade instantânea nesse instante específico.
Passo 5
Substituindo $ t = 2 $ na função da velocidade:
Resposta
A velocidade instantânea da partícula no instante $ t = 2 $ segundos é -3 metros por segundo.