A posição de uma partícula ao longo de um eixo é descrita pela função:
s(t)=t^3-6 t^2+9 t+4
onde s(t) está em metros e t em segundos.
Calcule a velocidade instantânea da partícula no instante t=2 s.

Passo 1

Então, a gente tem a posição de uma partícula ao longo do tempo dada pela função $ s(t) = t^{3} - 6t^{2} + 9t + 4 $, onde $ s(t) $ está em metros e $ t $ em segundos. O objetivo aqui é calcular a velocidade instantânea da partícula no instante $ t = 2 $ segundos. Para isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, mais especificamente a derivada da função posição em relação ao tempo, que nos dá a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos calcular $ v(t) = \frac{ds}{dt} $.

Passo 3

Vamos derivar cada termo da função $ s(t) $:
  • A derivada de $ t^{3} $ é $ 3t^{2} $.
  • A derivada de $ -6t^{2} $ é $ -12t $.
  • A derivada de $ 9t $ é $ 9 $.
  • A derivada de uma constante, como $ 4 $, é $ 0 $.
Então, juntando tudo:
s(t)

Passo 4

Agora que temos a função da velocidade, vamos substituir $ t = 2 $ segundos nela para encontrar a velocidade instantânea nesse instante específico.

Passo 5

Substituindo $ t = 2 $ na função da velocidade:
t = 2
v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9
v(2) = 3(4) - 24 + 9
v(2) = 12 - 24 + 9

Resposta

A velocidade instantânea da partícula no instante $ t = 2 $ segundos é -3 metros por segundo.

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