A posição de um determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução deste problema de valor inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para resolver uma equação diferencial de segunda ordem que descreve a posição de um sistema mola-massa. A equação é:
E temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. Isso ajuda a determinar a forma da solução geral. Substituímos
por
e
por
, ficando assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos fatorar:
Isso nos dá duas raízes:
Como temos raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Passo 4
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Segundo, calculamos a derivada de
:
Aplicando a condição
:
Então,
.
Resposta
A solução do problema é: