A posição de um determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial
s'' + 2 s' = 0, s(0) = 0, s'(0) = 2
(a) Encontre a solução deste problema de valor inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para resolver uma equação diferencial de segunda ordem que descreve a posição de um sistema mola-massa. A equação é:
E temos as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica dessa equação diferencial. Isso ajuda a determinar a forma da solução geral. Substituímos por e por , ficando assim:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Podemos fatorar:
Isso nos dá duas raízes:
Como temos raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:

Passo 4

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Segundo, calculamos a derivada de :
Aplicando a condição :
Então, .

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados