Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 calcule o valor aproximado e avalie o erro:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o polinômio de Taylor de ordem 2 para calcular uma aproximação de
e também verificar qual é o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender como funciona o polinômio de Taylor e aplicar algumas derivadas da função que estamos estudando.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher a função que vamos aproximar. Aqui, queremos
, então a nossa função é:
A ideia é expandir essa função em torno de um ponto a onde a gente saiba calcular
facilmente. Um bom ponto para isso é a = 4, porque
é fácil de calcular.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas da função
até a segunda ordem no ponto
.
Primeira derivada:
Então, avaliando em
:
Segunda derivada:
Avaliando em
:
Passo 4
Com essas derivadas, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem 2 para
ao redor de
. A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 2 é:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar
. Basta substituir
na expressão do polinômio:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
-
-
-
-
- Então:
Arredondando, a aproximação é:
Passo 7
Para avaliar o erro dessa aproximação, usamos o termo de erro do polinômio de Taylor de ordem 2, que envolve a terceira derivada da função. No entanto, como estamos usando um polinômio de segunda ordem, o erro é proporcional a
. Aqui, a diferença
, então o erro é pequeno, e nossa aproximação está bem próxima do valor real.
Resposta
Aproximação de
usando o polinômio de Taylor de ordem 2 é aproximadamente 1,949.