Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 calcule o valor aproximado e avalie o erro:
raiz(3.8)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o polinômio de Taylor de ordem 2 para calcular uma aproximação de e também verificar qual é o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar entender como funciona o polinômio de Taylor e aplicar algumas derivadas da função que estamos estudando.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher a função que vamos aproximar. Aqui, queremos , então a nossa função é:
A ideia é expandir essa função em torno de um ponto a onde a gente saiba calcular facilmente. Um bom ponto para isso é a = 4, porque é fácil de calcular.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas da função até a segunda ordem no ponto .
Primeira derivada:
Então, avaliando em :
Segunda derivada:
Avaliando em :

Passo 4

Com essas derivadas, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem 2 para ao redor de . A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 2 é:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos usar esse polinômio para aproximar . Basta substituir na expressão do polinômio:

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  1. Então:
Arredondando, a aproximação é:

Passo 7

Para avaliar o erro dessa aproximação, usamos o termo de erro do polinômio de Taylor de ordem 2, que envolve a terceira derivada da função. No entanto, como estamos usando um polinômio de segunda ordem, o erro é proporcional a . Aqui, a diferença , então o erro é pequeno, e nossa aproximação está bem próxima do valor real.

Resposta

Aproximação de usando o polinômio de Taylor de ordem 2 é aproximadamente 1,949.

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