Responda as seguintes questões:
(g) y1(x) = e^(5 x) e y2(x) = e^(-3 x) são soluções fundamentais da EDO y'' - 2y' - 15y = 0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se as funções e são soluções fundamentais da Equação Diferencial Ordinária (EDO) . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes, encontrar as soluções gerais e verificar se as funções dadas satisfazem a equação e são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar se e são soluções da EDO. Para isso, vamos substituir cada uma na equação e ver se a igualdade se mantém.
Começando com :
Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
Então, é uma solução da EDO.
Agora, vamos fazer o mesmo para :
Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
Então, também é uma solução da EDO.

Passo 3

Agora que confirmamos que ambas as funções são soluções, precisamos verificar se elas são linearmente independentes para serem soluções fundamentais. Para isso, usamos o Wronskiano, que é uma ferramenta para testar a independência linear de soluções.
O Wronskiano é dado por:
Calculando com nossos e :
Como o Wronskiano não é zero para nenhum , as funções são linearmente independentes.

Resposta

Sim, e são soluções fundamentais da EDO .

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