Responda as seguintes questões:
(g) e são soluções fundamentais da EDO ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se as funções e são soluções fundamentais da Equação Diferencial Ordinária (EDO) . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes, encontrar as soluções gerais e verificar se as funções dadas satisfazem a equação e são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar se e são soluções da EDO. Para isso, vamos substituir cada uma na equação e ver se a igualdade se mantém.
Começando com :
Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
Então, é uma solução da EDO.
Agora, vamos fazer o mesmo para :
Calculamos as derivadas:
Substituindo na EDO:
Então, também é uma solução da EDO.
Passo 3
Agora que confirmamos que ambas as funções são soluções, precisamos verificar se elas são linearmente independentes para serem soluções fundamentais. Para isso, usamos o Wronskiano, que é uma ferramenta para testar a independência linear de soluções.
O Wronskiano é dado por:
Calculando com nossos e :
Como o Wronskiano não é zero para nenhum , as funções são linearmente independentes.