A posição de determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução deste problema de valor inicial.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem que descreve a posição de um sistema mola-massa:
Além disso, temos condições iniciais:
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de problema, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e, a partir delas, construir a solução geral. Depois, usaremos as condições iniciais para determinar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos formar a equação característica associada à equação diferencial:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Passo 3
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas conjugadas.
Passo 4
Calculando as ra��zes:
Então, as raízes são
, onde:
Passo 5
Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, usando
:
Então,
.
Passo 7
Em seguida, vamos utilizar a condição
. Primeiro, precisamos calcular a derivada de
:
Aplicando a regra do produto:
Como
, simplificamos:
Agora, avaliando em
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, temos:
Ou, simplificando: