A posição de determinado sistema mola-massa satisfaz o problema de valor inicial
s'' + 1/4 s' + 2 s = 0, s(0) = 0, s'(0) = 2
(a) Encontre a solução deste problema de valor inicial.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem que descreve a posição de um sistema mola-massa:
Além disso, temos condições iniciais:
O conteúdo envolvido aqui é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver esse tipo de problema, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada e, a partir delas, construir a solução geral. Depois, usaremos as condições iniciais para determinar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos formar a equação característica associada à equação diferencial:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .

Passo 3

Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas conjugadas.

Passo 4

Calculando as ra��zes:
Então, as raízes são , onde:

Passo 5

Com raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores encontrados:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de e .
Primeiro, usando :
Então, .

Passo 7

Em seguida, vamos utilizar a condição . Primeiro, precisamos calcular a derivada de :
Aplicando a regra do produto:
Como , simplificamos:
Agora, avaliando em :

Passo 8

Resolvendo para :

Resposta

Substituindo e na solução geral, temos:
Ou, simplificando:

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