Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 calcule o valor aproximado e avalie o erro:
Passo 1
Beleza, temos que calcular uma aproximação para
usando o polinômio de Taylor de ordem 2. Basicamente, vamos utilizar uma fórmula que nos aproxima o valor exponencial em torno de um ponto (neste caso, 0) e também vamos estimar o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar da fórmula do polinômio de Taylor, conhecer as derivadas de
, e entender como calcular o erro usando o termo de resto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função
centrado em 0 (também chamado de série de Maclaurin). A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 2 é:
Para
, as derivadas são todas
, então:
Substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos usar esse polinômio para calcular
. Basta substituir
na expressão de
:
Calculando cada parte:
Então,
Passo 4
Para estimar o erro dessa aproximação, usamos o termo de resto da série de Taylor. O erro
é dado por:
onde
está entre 0 e
. Para
,
. Como
está entre 0 e 0.003, e sabemos que
atinge seu máximo em
, então:
Calculando:
Então, o erro é da ordem de
.
Resposta
Usando o polinômio de Taylor de ordem 2, a aproximação de
é
e o erro da aproximação é menor que
.