Usando o polinômio de Taylor de ordem 2 calcule o valor aproximado e avalie o erro:
e^0.003

Passo 1

Beleza, temos que calcular uma aproximação para usando o polinômio de Taylor de ordem 2. Basicamente, vamos utilizar uma fórmula que nos aproxima o valor exponencial em torno de um ponto (neste caso, 0) e também vamos estimar o erro dessa aproximação. Para isso, vamos precisar da fórmula do polinômio de Taylor, conhecer as derivadas de , e entender como calcular o erro usando o termo de resto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função centrado em 0 (também chamado de série de Maclaurin). A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem 2 é:
Para , as derivadas são todas , então:
Substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos usar esse polinômio para calcular . Basta substituir na expressão de :
Calculando cada parte:
Então,

Passo 4

Para estimar o erro dessa aproximação, usamos o termo de resto da série de Taylor. O erro é dado por:
onde está entre 0 e . Para , . Como está entre 0 e 0.003, e sabemos que atinge seu máximo em , então:
Calculando:
Então, o erro é da ordem de .

Resposta

Usando o polinômio de Taylor de ordem 2, a aproximação de é e o erro da aproximação é menor que .

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