Se a posição de um objeto é dada por
, determine (a) a velocidade média e a aceleração média entre
a velocidade instantânea e a aceleração instantânea em
. © Compare as quantidades médias e instantâneas e, em cada caso, explique por que a maior delas é maior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de um objeto em função do tempo:
. Estamos trabalhando com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Para resolver esse exercício, vamos precisar calcular a velocidade média, a aceleração média, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea nos tempos especificados. Além disso, vamos comparar esses valores médios com os instantâneos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade média entre
e
. A velocidade média (
) é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
Vamos calcular
e
:
Agora, a velocidade média:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração média (
) entre
e
. A aceleração média é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo:
Como a velocidade é derivada da posição, vamos primeiro encontrar a expressão da velocidade:
Agora, calculamos
e
:
A aceleração média então é:
Passo 4
Vamos agora calcular a velocidade instantânea nos instantes
e
. A velocidade instantânea é simplesmente a velocidade que já calculamos:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos determinar a aceleração instantânea. A aceleração é a derivada da velocidade:
Assim:
Passo 6
Finalmente, vamos comparar as quantidades médias com as instantâneas:
-
Velocidade Média vs. Velocidade Instantânea:
- Entre
e , a velocidade média é . - A velocidade instantânea em
é e em é . - A velocidade média está entre os valores instantâneos. Isso acontece porque a velocidade está aumentando de forma não linear.
- Entre
-
Aceleração Média vs. Aceleração Instantânea:
- A aceleração média é
. - A aceleração instantânea em
é e em é . - A aceleração média também fica entre os valores das acelerações instantâneas, refletindo que a aceleração está aumentando ao longo do tempo.
- A aceleração média é
Resposta
(a) A velocidade média entre
e
é
e a aceleração média é
.
(b) A velocidade instantânea é
em
e
em
. A aceleração instantânea é
em
e
em
.
© As quantidades médias estão entre os valores instantâneos porque tanto a velocidade quanto a aceleração estão aumentando ao longo do tempo. Isso faz com que os valores instantâneos em
sejam maiores que os valores médios calculados.
Exercícios relacionados
A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo
é dada por
, onde
e
. Considere o intervalo de tempo
até
calcule © a velocidade instantânea em
;
Por que fator deve ser multiplicada a energia necessária para escapar da terra para se obter a energia necessária para escapar da Lua?
Estime o tempo que a luz do sol leva para chegar à Terra (ordem de grandeza). Estime o tempo para a luz da estrela mais próxima chegar à Terra.
(a) Mostre que a expressão
é uma onda progressiva