Se a posição de um objeto é dada por x(2,0 m / s^3) t^3, determine (a) a velocidade média e a aceleração média entre t= 1 e t=2 se(b) a velocidade instantânea e a aceleração instantânea em t=1 e t=2 s. © Compare as quantidades médias e instantâneas e, em cada caso, explique por que a maior delas é maior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de um objeto em função do tempo: . Estamos trabalhando com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Para resolver esse exercício, vamos precisar calcular a velocidade média, a aceleração média, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea nos tempos especificados. Além disso, vamos comparar esses valores médios com os instantâneos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade média entre v = x(t2) - x(t1)t2 - t1 e x(1) = 2,0 cdot (1)^3 = 2,0 , m . A velocidade média ( x(2) = 2,0 cdot (2)^3 = 16 , m ) é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
v = 16 - 22 - 1 = 141 = 14 , m/s
Vamos calcular e :
Agora, a velocidade média:

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração média ( a = v(t2) - v(t1)t2 - t1 ) entre v(t) = dxdt = ddt(2,0 cdot t^3) = 6,0 cdot t^2 , m/s e v(1) = 6,0 cdot (1)^2 = 6,0 , m/s . A aceleração média é a variação da velocidade dividida pela variação do tempo:
v(2) = 6,0 cdot (2)^2 = 24 , m/s
Como a velocidade é derivada da posição, vamos primeiro encontrar a expressão da velocidade:
a = 24 - 62 - 1 = 181 = 18 , m/s^2
Agora, calculamos e :
A aceleração média então é:

Passo 4

Vamos agora calcular a velocidade instantânea nos instantes v(t) = 6,0 cdot t^2 , m/s e v(1) = 6,0 cdot 1^2 = 6,0 , m/s . A velocidade instantânea é simplesmente a velocidade que já calculamos:
v(2) = 6,0 cdot 2^2 = 24 , m/s
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos determinar a aceleração instantânea. A aceleração é a derivada da velocidade:
a(t) = dvdt = ddt(6,0 cdot t^2) = 12,0 cdot t , m/s^2
Assim:
a(1) = 12,0 cdot 1 = 12,0 , m/s^2
a(2) = 12,0 cdot 2 = 24,0 , m/s^2

Passo 6

Finalmente, vamos comparar as quantidades médias com as instantâneas:
  • Velocidade Média vs. Velocidade Instantânea:
    • Entre e , a velocidade média é .
    • A velocidade instantânea em é e em é .
    • A velocidade média está entre os valores instantâneos. Isso acontece porque a velocidade está aumentando de forma não linear.
  • Aceleração Média vs. Aceleração Instantânea:
    • A aceleração média é .
    • A aceleração instantânea em é e em é .
    • A aceleração média também fica entre os valores das acelerações instantâneas, refletindo que a aceleração está aumentando ao longo do tempo.

Resposta

(a) A velocidade média entre e é e a aceleração média é .
(b) A velocidade instantânea é em e em . A aceleração instantânea é em e em .
© As quantidades médias estão entre os valores instantâneos porque tanto a velocidade quanto a aceleração estão aumentando ao longo do tempo. Isso faz com que os valores instantâneos em sejam maiores que os valores médios calculados.

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