A posição de um objeto que se move ao longo do eixo x é dada por x=3 t-4 t 2+3 t^3, com x dado em metros e t em segundos. (a) Encontre a posição do objeto nos instantes: t=0 s, t =1 s, t=2 s, t=3 s e t=4 s. (b) Qual é o deslocamento do objeto entre t=0 e t=4 s ? © Encontre a velocidade do objeto em t=0 s, t=1 s, t=2 s, t=3 s e t=4 s. (d) Qual é a velocidade média do objeto entre t=2 se t=4 s ? Resp. t=0 s, x=0 ; t=1 s, x=2 m ; t=2 s, x=14 m ; t=3 s, x=54 m; e t=4 s x=140 m. (b) 140 m © t=0 s, v=3 m / s ; t=1 s, v =4 m / s ; t=2 s, v=23 m / s ; t=3 s, v=60 m / s ; e t=4 s, v=115 m / s. (d) 63 m / s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a posição de um objeto se movendo ao longo do eixo x dada pela fórmula x=3t - 4t^2 + 3t^3, onde x está em metros e t em segundos. Vamos precisar usar conceitos de posição, deslocamento, velocidade e velocidade média para resolver as partes (a) até (d).

Passo 2

Parte (a): Encontrar a posição nos instantes dados
Aqui, basta substituir os valores de t na equação da posição para achar x.
Por exemplo, para t=0,s:
x = 3(0) - 4(0)^2 + 3(0)^3 = 0
Fazendo isso para todos os instantes:
  • t=1,s:
x = 3(1) - 4(1)^2 + 3(1)^3 = 3 - 4 + 3 = 2,m
  • t=2,s:
x = 3(2) - 4(2)^2 + 3(2)^3 = 6 - 16 + 24 = 14,m
  • t=3,s:
x = 3(3) - 4(3)^2 + 3(3)^3 = 9 - 36 + 81 = 54,m
  • t=4,s:
x = 3(4) - 4(4)^2 + 3(4)^3 = 12 - 64 + 192 = 140,m

Passo 3

Parte (b): Calcular o deslocamento entre t=0,s e t=4,s
Deslocamento é a diferença entre a posição final e a inicial:
Deslocamento = x(4) - x(0) = 140,m - 0,m = 140,m

Passo 4

Parte ©: Encontrar a velocidade nos instantes dados
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar x(t):
v(t) = dxdt = 3 - 8t + 9t^2
Agora, substituímos os valores de t para encontrar a velocidade em cada instante:
  • t=0,s:
v(0) = 3 - 8(0) + 9(0)^2 = 3,m/s
  • t=1,s:
v(1) = 3 - 8(1) + 9(1)^2 = 3 - 8 + 9 = 4,m/s
  • t=2,s:
v(2) = 3 - 8(2) + 9(2)^2 = 3 - 16 + 36 = 23,m/s
  • t=3,s:
v(3) = 3 - 8(3) + 9(3)^2 = 3 - 24 + 81 = 60,m/s
  • t=4,s:
v(4) = 3 - 8(4) + 9(4)^2 = 3 - 32 + 144 = 115,m/s

Passo 5

Parte (d): Calcular a velocidade média entre t=2,s e t=4,s
A velocidade média é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo. Já sabemos que o deslocamento entre t=0,s e t=4,s é 140,m, mas queremos entre t=2,s e t=4,s.
Primeiro, encontramos as posições:
x(2) = 14,m e x(4) = 140,m
Então,
Deslocamento = x(4) - x(2) = 140,m - 14,m = 126,m
Intervalo de tempo = 4,s - 2,s = 2,s
Velocidade média = 126,m2,s = 63,m/s é

Resposta

(a)
t=0,s, x=0,m;
t=1,s, x=2,m;
t=2,s, x=14,m;
t=3,s, x=54,m;
t=4,s, x=140,m.
(b) 140 m.
©
t=0,s, v=3,m/s;
t=1,s, v=4,m/s;
t=2,s, v=23,m/s;
t=3,s, v=60,m/s;
t=4,s, v=115,m/s.
(d) 63 m/s.

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