A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x=3 t-4 t^2+t^3, em que x está em metros e t em segundos. Determine:
(a) a posição do objeto para t=2 s,
(b) a posição do objeto para t=4 s,
© a velocidade média no intervalo de tempo de t=2 s a t=4 s,
(d) o gráfico de x em função de t para 0 <= t <= 4 s,
(e) indique como a resposta do item anterior pode ser determinada a partir do gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre a posição de um objeto que se move ao longo do eixo x, com a posição dada pela função x=3 t - 4 t^2 + t^3. Aqui, x está em metros e t em segundos. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo para substituir valores na função, calcular velocidades médias e até desenhar um gráfico dessa função. Vamos lá!

Passo 2

a) Determinar a posição do objeto para t=2,s.
Primeiro, vamos substituir t=2 na função da posição:
x = 3(2) - 4(2)^2 + (2)^3
Calculando cada termo:
  • 3(2) = 6
  • 4(2)^2 = 4 times 4 = 16
  • (2)^3 = 8
Então:
x = 6 - 16 + 8 = -2 , metros

Passo 3

b) Determinar a posição do objeto para t=4,s.
Agora, substituímos t=4 na função da posição:
x = 3(4) - 4(4)^2 + (4)^3
Calculando cada termo:
  • 3(4) = 12
  • 4(4)^2 = 4 times 16 = 64
  • (4)^3 = 64
Então:
x = 12 - 64 + 64 = 12 , metros

Passo 4

c) Calcular a velocidade média no intervalo de tempo de t=2,s a t=4,s.
A velocidade média ( vm) é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
vm = x(t2) - x(t1)t2 - t1
Onde:
  • x(t2) = x(4) = 12,m
  • x(t1) = x(2) = -2,m
Substituindo:
vm = 12 - (-2)4 - 2 = 142 = 7, m/s

Passo 5

d) Desenhar o gráfico de x em função de t para 0 <= t <= 4,s.
Para criar o gráfico, vamos calcular alguns pontos substituindo valores de t na função x=3 t - 4 t^2 + t^3:
t (s) x (m)
0 0
1 3(1) - 4(1)^2 + 1^3 = 0
2 -2
3 3(3) - 4(9) + 27 = 0
4 12
Com esses pontos, o gráfico terá a forma de uma curva cúbica que passa por (0,0), (1,0), (2,-2), (3,0) e (4,12). Você pode plotar esses pontos em um sistema de coordenadas e ligar com uma curva suave.

Passo 6

e) Indicar como a resposta do item anterior pode ser determinada a partir do gráfico.
A partir do gráfico de x em função de t, podemos determinar a posição do objeto em qualquer instante de tempo dentro do intervalo 0 <= t <= 4,s simplesmente observando o ponto correspondente no gráfico. Além disso, podemos visualizar a velocidade média como a inclinação da reta que liga os pontos (2,-2) e (4,12) no gráfico, ou ainda observar como a posição varia com o tempo.

Resposta

A posição do objeto para t=2,s é -2,m, para t=4,s é 12,m, a velocidade média no intervalo de 2,s a 4,s é 7,m/s, o gráfico de x em função de t é uma curva cúbica passando por (0,0), (1,0), (2,-2), (3,0) e (4,12), e a posição em qualquer instante pode ser determinada observando os pontos no gráfico.

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