A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por
x(t)=3 t-4 t^2+t^3
onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição, velocidade e aceleração do objeto para os seguintes valores:
d) 4 s

Passo 1

Vamos resolver um problema de movimento retilíneo onde a posição de um objeto ao longo do eixo é dada pela função . Vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a velocidade e a aceleração do objeto no instante de 4 segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição do objeto no tempo x(4) = 3(4) - 4(4)^2 + (4)^3 segundos. Para isso, basta substituir por 4 na função :

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de x(4) = 12 - 4(16) + 64 = 12 - 64 + 64 = 12 metros :

Passo 4

Para encontrar a velocidade, precisamos derivar a função de posição v(t) = dxdt = ddt(3t - 4t^2 + t^3) = 3 - 8t + 3t^2 em relação ao tempo . A derivada da posição é a velocidade :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade no instante v(4) = 3 - 8(4) + 3(4)^2 = 3 - 32 + 48 = 19 metros por segundo segundos substituindo por 4 na função :

Passo 6

Para determinar a aceleração, derivamos a função de velocidade a(t) = dvdt = ddt(3 - 8t + 3t^2) = -8 + 6t em relação ao tempo . A derivada da velocidade é a aceleração :

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a aceleração no instante a(4) = -8 + 6(4) = -8 + 24 = 16 metros por segundo ao quadrado segundos substituindo por 4 na função :

Resposta

No instante de 4 segundos, o objeto está na posição de 12 metros, com uma velocidade de 19 m/s e uma aceleração de 16 m/s².

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