A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por
x(t)=3 t-4 t^2+t^3
onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição, velocidade e aceleração do objeto para os seguintes valores:
a) 1 s
b) 2 s
c) 3 s
d) 4 s
e) Quando o deslocamento do objeto entre t=0 e t=4 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que mostra a posição de um objeto em movimento ao longo do tempo:
x(t) = 3t - 4t^2 + t^3
Aqui, está em metros e em segundos. O que a gente precisa fazer é encontrar a posição, a velocidade e a aceleração do objeto para os tempos s, s, s e s. Além disso, vamos calcular o deslocamento entre e s. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas na física, que nos ajudam a encontrar velocidade e aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição do objeto para os tempos dados. A posição já está definida pela função v(t) = dxdt , então basta substituir os valores de a(t) = d^2xdt^2 nela.
Mas antes, vamos calcular a velocidade e a aceleração. A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, ou seja:
E a aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, a segunda derivada da posição:

Passo 3

Vamos calcular a velocidade v(t) = ddt(3t - 4t^2 + t^3) = 3 - 8t + 3t^2 derivando a(t) = ddt(3 - 8t + 3t^2) = -8 + 6t :
Agora, a aceleração é a derivada de :

Passo 4

Vamos agora calcular a posição, a velocidade e a aceleração para cada um dos tempos solicitados.

a) x(1) = 3(1) - 4(1)^2 + (1)^3 = 3 - 4 + 1 = 0 m s

  • Posição:
    v(1) = 3 - 8(1) + 3(1)^2 = 3 - 8 + 3 = -2 m/s
  • Velocidade:
    a(1) = -8 + 6(1) = -8 + 6 = -2 m/s^2
  • Aceleração:
    x(2) = 3(2) - 4(2)^2 + (2)^3 = 6 - 16 + 8 = -2 m

b) v(2) = 3 - 8(2) + 3(2)^2 = 3 - 16 + 12 = -1 m/s s

  • Posição:
    a(2) = -8 + 6(2) = -8 + 12 = 4 m/s^2
  • Velocidade:
    x(3) = 3(3) - 4(3)^2 + (3)^3 = 9 - 36 + 27 = 0 m
  • Aceleração:
    v(3) = 3 - 8(3) + 3(3)^2 = 3 - 24 + 27 = 6 m/s

c) a(3) = -8 + 6(3) = -8 + 18 = 10 m/s^2 s

  • Posição:
    x(4) = 3(4) - 4(4)^2 + (4)^3 = 12 - 64 + 64 = 12 m
  • Velocidade:
    v(4) = 3 - 8(4) + 3(4)^2 = 3 - 32 + 48 = 19 m/s
  • Aceleração:
    a(4) = -8 + 6(4) = -8 + 24 = 16 m/s^2

d) De s

  • Posição:
    x(0) = 3(0) - 4(0)^2 + (0)^3 = 0 m
  • Velocidade:
    De
  • Aceleração:

e) Deslocamento entre e s

O deslocamento é a diferença entre a posição final e a inicial:
Vamos calcular :
Então,

Resposta

a) Para s:
  • Posição: m
  • Velocidade: m/s
  • Aceleração: m/s²
b) Para s:
  • Posição: m
  • Velocidade: m/s
  • Aceleração: m/s²
c) Para s:
  • Posição: m
  • Velocidade: m/s
  • Aceleração: m/s²
d) Para s:
  • Posição: m
  • Velocidade: m/s
  • Aceleração: m/s²
e) O deslocamento entre e s é metros.

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