Três vetores são dados por e . Determine:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional e precisamos calcular algumas operações entre eles, como produto escalar e produto vetorial. Para isso, vamos precisar saber como fazer o produto escalar (também chamado de produto ponto) e o produto vetorial (produto cruz) de vetores.
Passo 2
a)
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre e , que resulta em um novo vetor perpendicular aos dois. Depois, fazemos o produto escalar desse resultado com .
Passo a: Calcular .
Usamos a regra do determinante:
Calculando:
b times c = imath((-4)(1) - (2)(2)) - gravej((-1)(1) - (2)(2)) + gravek((-1)(2) - (-4)(2)) = -8imath +5gravej +6gravek
Passo b: Fazer o produto escalar com a.
a cdot (b times c) = (3)(-8) + (3)(5) + (-2)(6) = -24 +15 -12 = -21
Passo 3
b) a cdot (b + c)
Aqui, vamos somar os vetores b e c primeiro e depois fazer o produto escalar com a.
Passo a: Somar b e c.
b + c = (-1 + 2)imath + (-4 + 2)gravej + (2 + 1)gravek = imath -2gravej +3gravek
Passo b: Fazer o produto escalar com a.
a cdot (b + c) = (3)(1) + (3)(-2) + (-2)(3) = 3 -6 -6 = -9
Passo 4
c) a times (b times c)
Vamos primeiro calcular b times c e depois fazer o produto vetorial de a com esse resultado.
Passo a: Já calculamos b times c = -8imath +5gravej +6gravek.
Esse cálculo não é válido porque o produto escalar b cdot c resulta em um número (escala), e não podemos fazer o produto escalar de um vetor com um escalar. Ou seja, a operação a cdot (b cdot c) não está definida.
Resposta
a) a cdot (b times c) = -21
b) a cdot (b + c) = -9
c) a times (b times c) = 28,imath -2,gravej +39,gravek
d) a times (b + c) = 5,imath -11,gravej -9,gravek
e) A operação a cdot (b cdot c) não está definida.