Três vetores são dados por a=3 imath+3 gravej-2 gravek, b=-imath-4 gravej+2 gravek e c=2 imath+2 gravej+gravek. Determine:
a) a cdot(b times c)
b) a cdot(b+c)
c) a times(b times c)
d) a times(b+c)
e) a cdot(b cdot c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra vetorial juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional e precisamos calcular algumas operações entre eles, como produto escalar e produto vetorial. Para isso, vamos precisar saber como fazer o produto escalar (também chamado de produto ponto) e o produto vetorial (produto cruz) de vetores.

Passo 2

a) a cdot (b times c)

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial entre b e c, que resulta em um novo vetor perpendicular aos dois. Depois, fazemos o produto escalar desse resultado com a.
Passo a: Calcular b times c.
Usamos a regra do determinante:
b times c = imath & gravej & gravek -1 & -4 & 2 2 & 2 & 1
Calculando:
b times c = imath((-4)(1) - (2)(2)) - gravej((-1)(1) - (2)(2)) + gravek((-1)(2) - (-4)(2)) = -8imath +5gravej +6gravek
Passo b: Fazer o produto escalar com a.
a cdot (b times c) = (3)(-8) + (3)(5) + (-2)(6) = -24 +15 -12 = -21

Passo 3

b) a cdot (b + c)

Aqui, vamos somar os vetores b e c primeiro e depois fazer o produto escalar com a.
Passo a: Somar b e c.
b + c = (-1 + 2)imath + (-4 + 2)gravej + (2 + 1)gravek = imath -2gravej +3gravek
Passo b: Fazer o produto escalar com a.
a cdot (b + c) = (3)(1) + (3)(-2) + (-2)(3) = 3 -6 -6 = -9

Passo 4

c) a times (b times c)

Vamos primeiro calcular b times c e depois fazer o produto vetorial de a com esse resultado.
Passo a: Já calculamos b times c = -8imath +5gravej +6gravek.
Passo b: Calcular a times (b times c).
a times (-8imath +5gravej +6gravek) = imath & gravej & gravek 3 & 3 & -2 -8 & 5 & 6
Calculando:
a times (b times c) = imath(3 cdot 6 - (-2) cdot 5) - gravej(3 cdot 6 - (-2) cdot (-8)) + gravek(3 cdot 5 - 3 cdot (-8)) = 28imath -2gravej +39gravek

Passo 5

d) a times (b + c)

Primeiro, somamos b e c, e depois fazemos o produto vetorial com a.
Passo a: Já temos b + c = imath -2gravej +3gravek.
Passo b: Calcular a times (b + c).
a times (imath -2gravej +3gravek) = imath & gravej & gravek 3 & 3 & -2 1 & -2 & 3
Calculando:
a times (b + c) = imath(3 cdot 3 - (-2) cdot (-2)) - gravej(3 cdot 3 - (-2) cdot 1) + gravek(3 cdot (-2) -3 cdot 1) = 5imath -11gravej -9gravek

Passo 6

e) a cdot (b cdot c)

Esse cálculo não é válido porque o produto escalar b cdot c resulta em um número (escala), e não podemos fazer o produto escalar de um vetor com um escalar. Ou seja, a operação a cdot (b cdot c) não está definida.

Resposta

a) a cdot (b times c) = -21
b) a cdot (b + c) = -9
c) a times (b times c) = 28,imath -2,gravej +39,gravek
d) a times (b + c) = 5,imath -11,gravej -9,gravek
e) A operação a cdot (b cdot c) não está definida.

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