A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x(t)=3+2 t-t^2, em que x está em metros e o tempo em segundos. b) Calcule a posição, a velocidade e a aceleração para t=0, t=1 s, t=2 s e t=3 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de um objeto se movendo ao longo do eixo x, descrita pela função x(t) = 3 + 2t - t^2. Aqui, x está em metros e o tempo t em segundos. Nosso objetivo é calcular a posição, a velocidade e a aceleração desse objeto nos momentos t=0, t=1 s, t=2 s e t=3 s. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição do objeto nos tempos indicados. Isso é simples: basta substituir os valores de t na equação x(t) = 3 + 2t - t^2.
Para t = 0:
x(0) = 3 + 2(0) - (0)^2 = 3 metros
Para t = 1 s:
x(1) = 3 + 2(1) - (1)^2 = 3 + 2 - 1 = 4 metros
Para t = 2 s:
x(2) = 3 + 2(2) - (2)^2 = 3 + 4 - 4 = 3 metros
Para t = 3 s:
x(3) = 3 + 2(3) - (3)^2 = 3 + 6 - 9 = 0 metros

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade do objeto. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja:
v(t) = dx(t)dt
Derivando x(t):
v(t) = ddt(3 + 2t - t^2) = 0 + 2 - 2t = 2 - 2t
Vamos calcular v(t) para cada valor de t:
Para t = 0:
v(0) = 2 - 2(0) = 2 m/s
Para t = 1 s:
v(1) = 2 - 2(1) = 0 m/s
Para t = 2 s:
v(2) = 2 - 2(2) = -2 m/s
Para t = 3 s:
v(3) = 2 - 2(3) = -4 m/s

Passo 4

Por último, vamos encontrar a aceleração do objeto. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
a(t) = dv(t)dt = d^2x(t)dt^2
Derivando v(t):
a(t) = ddt(2 - 2t) = 0 - 2 = -2 m/s^2
Perceba que a aceleração é constante e igual a -2 m/s^2 para todos os instantes de tempo considerados.

Resposta

Tempo ( s) Posição ( m) Velocidade ( m/s) Aceleração ( m/s^2)
0 3 2 -2
1 4 0 -2
2 3 -2 -2
3 0 -4 -2

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