A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo
é dada por
, em que
está em metros e o tempo em segundos. a) Determine a expressão da velocidade
e da aceleração
em função do tempo
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre movimento ao longo de um eixo. A posição de um objeto em função do tempo é dada por
, onde
está em metros e
em segundos. A gente precisa encontrar as expressões da velocidade
e da aceleração
em função do tempo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a posição muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que
. Então, vamos derivar a função
em relação a
.
Passo 3
Ao derivar
, cada termo é tratado separadamente:
- A derivada de
(uma constante) é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora que temos a expressão da velocidade, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Vamos derivar
.
Passo 5
Derivando cada termo de
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a aceleração é:
Resposta
A velocidade do objeto é
metros por segundo e a aceleração é
metros por segundo ao quadrado.