A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x(t)=3+2 t-t^2, em que x está em metros e o tempo em segundos. a) Determine a expressão da velocidade v(t) e da aceleração a(t) em função do tempo t.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre movimento ao longo de um eixo. A posição de um objeto em função do tempo é dada por , onde está em metros e em segundos. A gente precisa encontrar as expressões da velocidade e da aceleração em função do tempo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a posição muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que . Então, vamos derivar a função em relação a .

Passo 3

Ao derivar v(t) = 0 + 2 - 2t = 2 - 2t , cada termo é tratado separadamente:
  • A derivada de (uma constante) é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora que temos a expressão da velocidade, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, . Vamos derivar .

Passo 5

Derivando cada termo de a(t) = 0 - 2 = -2 :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, a aceleração é:

Resposta

A velocidade do objeto é metros por segundo e a aceleração é metros por segundo ao quadrado.

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