A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo
é dada por
, em que
está em metros e o tempo em segundos. a) Determine a expressão da velocidade
e da aceleração
em função do tempo
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre movimento ao longo de um eixo. A posição de um objeto em função do tempo é dada por
, onde
está em metros e
em segundos. A gente precisa encontrar as expressões da velocidade
e da aceleração
em função do tempo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a posição muda com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que
. Então, vamos derivar a função
em relação a
.
Passo 3
Ao derivar
, cada termo é tratado separadamente:
- A derivada de
(uma constante) é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora que temos a expressão da velocidade, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja,
. Vamos derivar
.
Passo 5
Derivando cada termo de
:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a aceleração é:
Resposta
A velocidade do objeto é
metros por segundo e a aceleração é
metros por segundo ao quadrado.
Exercícios relacionados
Em um teste de um novo modelo de automóvel da empresa Super Motores, o velocímetro é calibrado para ler
em vez de
. A série de medidas a seguir foi registrada durante o teste ao longo de uma estrada retilínea muito longa:
Tempo (s) | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Velocidade
|
0 | 0 | 2 | 6 | 10 | 16 | 19 | 22 | 22 |
Faça um gráfico
vs.
dos dados tabelados. Compare a análise gráfica e a análise numérica dos dados obtidos.
A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo
é dada por
, em que
está em metros e o tempo em segundos. d) Encontre o instante e a posição que o objeto pára.
A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo
é dada por
, em que
está em metros e o tempo em segundos. e) Faça o gráfico da posição, da velocidade e da aceleração em função do tempo.
A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo
varia com o tempo de acordo com a equação
, onde
está em metros e
em segundos. Determine a aceleração da partícula nos instantes $(i) t=4,0 s.