A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo é dada por , em que está em metros e o tempo em segundos. a) Determine a expressão da velocidade e da aceleração em função do tempo .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre movimento ao longo de um eixo. A posição de um objeto em função do tempo é dada por , onde está em metros e em segundos. A gente precisa encontrar as expressões da velocidade e da aceleração em função do tempo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a posição muda com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que . Então, vamos derivar a função em relação a .

Passo 3

Ao derivar , cada termo é tratado separadamente:
  • A derivada de (uma constante) é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora que temos a expressão da velocidade, vamos encontrar a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, . Vamos derivar .

Passo 5

Derivando cada termo de :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, a aceleração é:

Resposta

A velocidade do objeto é metros por segundo e a aceleração é metros por segundo ao quadrado.

Exercícios relacionados

Em um teste de um novo modelo de automóvel da empresa Super Motores, o velocímetro é calibrado para ler em vez de . A série de medidas a seguir foi registrada durante o teste ao longo de uma estrada retilínea muito longa:
Tempo (s) 0 2 4 6 8 10 12 14 16
Velocidade 0 0 2 6 10 16 19 22 22
Faça um gráfico vs. dos dados tabelados. Compare a análise gráfica e a análise numérica dos dados obtidos.
A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo é dada por , em que está em metros e o tempo em segundos. d) Encontre o instante e a posição que o objeto pára.
A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo é dada por , em que está em metros e o tempo em segundos. e) Faça o gráfico da posição, da velocidade e da aceleração em função do tempo.
A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo varia com o tempo de acordo com a equação , onde está em metros e em segundos. Determine a aceleração da partícula nos instantes $(i) t=4,0 s.