A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x(t)=3+2 t-t^2, em que x está em metros e o tempo em segundos. e) Faça o gráfico da posição, da velocidade e da aceleração em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão diz que a posição de um objeto que se move ao longo do eixo é dada por , onde está em metros e em segundos. A gente vai precisar trabalhar com conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição. Então, vamos resolver passo a passo para fazer os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do objeto. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar a função x(t) = 3 + 2t - t^2 para obter v(t) = dxdt = ddt(3) + ddt(2t) - ddt(t^2) .
A função dada é:
v(t) = 0 + 2 - 2t
Derivando em relação ao tempo v(t) = 2 - 2t :
Então, a velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração do objeto. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
A função da velocidade que encontramos é:
v(t) = 2 - 2t
Derivando em relação ao tempo a(t) = dvdt = ddt(2) - ddt(2t) :
a(t) = 0 - 2
a(t) = -2
Então, a aceleração é:

Passo 4

Com as funções da posição, velocidade e aceleração em mãos, vamos fazer os gráficos de cada uma delas em função do tempo .
  1. Gráfico da Posição
    • É uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de é negativo).
    • O termo constante indica que a posição inicial é 3 metros.
    • O gráfico vai aumentar inicialmente devido ao termo e depois diminuir por causa do .
  2. Gráfico da Velocidade
    • É uma reta decrescente.
    • Quando , a velocidade é m/s.
    • A inclinação é , indicando que a velocidade está diminuindo continuamente.
  3. Gráfico da Aceleração
    • É uma linha reta horizontal, pois a aceleração é constante.
    • Independente do tempo, a aceleração é sempre m/s².

Resposta

Com base nas funções derivadas, os gráficos são os seguintes:
  1. Posição :
    • Uma parábola que atinge o ponto máximo e depois desce.
  2. Velocidade :
    • Uma reta decrescente que corta o eixo quando , ou seja, em segundo.
  3. Aceleração :
    • Uma linha horizontal constante em m/s².
Você pode desenhar esses gráficos em papel ou usar uma ferramenta gráfica como o GeoGebra ou o Desmos para visualizar melhor como cada função se comporta ao longo do tempo.

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