A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo
é dada por
, em que
está em metros e o tempo em segundos. e) Faça o gráfico da posição, da velocidade e da aceleração em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão diz que a posição de um objeto que se move ao longo do eixo
é dada por
, onde
está em metros e
em segundos. A gente vai precisar trabalhar com conceitos de cinemática, especificamente derivadas para encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição. Então, vamos resolver passo a passo para fazer os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do objeto. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar a função
para obter
.
A função dada é:
Derivando em relação ao tempo
:
Então, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração do objeto. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
A função da velocidade que encontramos é:
Derivando em relação ao tempo
:
Então, a aceleração é:
Passo 4
Com as funções da posição, velocidade e aceleração em mãos, vamos fazer os gráficos de cada uma delas em função do tempo
.
-
Gráfico da Posição
- É uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de
é negativo). - O termo constante
indica que a posição inicial é 3 metros. - O gráfico vai aumentar inicialmente devido ao termo
e depois diminuir por causa do .
- É uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de
-
Gráfico da Velocidade
- É uma reta decrescente.
- Quando
, a velocidade é m/s. - A inclinação é
, indicando que a velocidade está diminuindo continuamente.
-
Gráfico da Aceleração
- É uma linha reta horizontal, pois a aceleração é constante.
- Independente do tempo, a aceleração é sempre
m/s².
Resposta
Com base nas funções derivadas, os gráficos são os seguintes:
-
Posição
: - Uma parábola que atinge o ponto máximo e depois desce.
-
Velocidade
: - Uma reta decrescente que corta o eixo
quando , ou seja, em segundo.
- Uma reta decrescente que corta o eixo
-
Aceleração
: - Uma linha horizontal constante em
m/s².
- Uma linha horizontal constante em
Você pode desenhar esses gráficos em papel ou usar uma ferramenta gráfica como o GeoGebra ou o Desmos para visualizar melhor como cada função se comporta ao longo do tempo.