A posição da partícula é dada pela expressão x=4 cos (3 pi t+pi), onde x é dado em metros e t em segundos. Determine (a) A frequência, (b) o período do movimento, © a amplitude do movimento, (d) a constante de fase e (e) a posição da partícula em t=0,250 s.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema: temos a posição de uma partícula descrita pela função , onde está em metros e em segundos. Vamos precisar entender conceitos de movimento harmônico, como frequência, período, amplitude, constante de fase e calcular a posição em um instante específico. Para isso, vamos usar fórmulas básicas de funções trigonométricas aplicadas ao movimento oscilatório.

Passo 2

(a) Determinar a frequência
A frequência omega = 2pi f é o número de oscilações que a partícula completa em um segundo. Para encontrar a frequência, precisamos identificar o coeficiente angular da função, que está dentro do cosseno.
Na função f = omega2pi = 3pi2pi = 32 , Hz , o coeficiente angular é . A relação entre o coeficiente angular e a frequência é dada por:
Então, podemos resolver para :

Passo 3

(b) Determinar o período do movimento
O período T = 1f é o tempo que a partícula leva para completar uma oscilação completa. Ele está relacionado à frequência pela fórmula:
T = 132 = 23 , segundos
Já encontramos que , então:

Passo 4

© Determinar a amplitude do movimento
A amplitude é o valor máximo que a função A = 4 , metros alcança, ou seja, a distância máxima da posição de equilíbrio. Na função , o número que multiplica o cosseno é a amplitude.
Portanto, a amplitude é:

Passo 5

(d) Determinar a constante de fase
A constante de fase phi = pi , radianos é o deslocamento angular da função. Na nossa função , a constante de fase é o termo adicionado dentro do cosseno.
Então, a constante de fase é:

Passo 6

(e) Determinar a posição da partícula em x = 4 cos (3pi times 0,250 + pi)
Para encontrar a posição 3pi times 0,250 = 3pi4 no tempo x = 4 cos ( 3pi4 + pi ) = 4 cos ( 7pi4 ) , substituímos o valor de x = 4 times raiz22 = 2raiz2 , metros na função:
Primeiro, calculamos o argumento do cosseno:
Então:
Sabemos que , então:

Resposta

(a) Frequência:
(b) Período:
© Amplitude:
(d) Constante de fase:
(e) Posição em :

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