A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(b) Encontre a velocidade como função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que está se movendo numa linha reta. No tempo inicial, t = 0, a posição dela é 0,125 e a velocidade é 0,5. A aceleração dessa partícula muda com o tempo e é dada por . Nosso objetivo aqui é encontrar a velocidade dela em qualquer instante de tempo, ou seja, descobrir .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso significa que se a gente sabe a aceleração, podemos encontrar a velocidade integrando a aceleração em relação ao tempo.

Passo 3

Então, para encontrar , precisamos integrar a função de aceleração . A integral da aceleração vai nos dar a velocidade. A fórmula que vamos usar é:
Aqui, é a velocidade inicial, que nesse caso é 0,5.

Passo 4

Vamos agora calcular a integral da aceleração:
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 5

Integrando o primeiro termo, :

Passo 6

Agora, integrando o segundo termo, :

Passo 7

Juntando as duas integrais, temos:
Aqui, é a constante de integração. Mas como estamos usando uma integral definida de 0 a t, podemos substituir os limites sem precisar adicionar a constante.

Passo 8

Agora, aplicando o intervalo de integração de 0 a t:
Como e , a expressão simplifica para:

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é:

Exercícios relacionados

A posição de uma partícula é dada como função do tempo por s(t) = 1 - 3t + t^2 + 3t^3 de modo unidimensional.
(g) Em que instantes de tempo a partícula tem seu sentido negativo em relação ao sistema.
A posição de uma partícula é dada como função do tempo por s(t) = 1 - 3t + t^2 + 3t^3 de modo unidimensional.
(b) Em que posição a partícula encontra-se quando t = 0 ?
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(h) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma posição como função do tempo dada por s(t) = 4 - (1/8) cos(4 t). Em que instantes de tempo, as partículas se encontram?
Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
s = 4 sen(2 pi t) / t
© Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo segundo a função s(t) = 4 / t. Em que instantes de tempo esta última encontra-se com a primeira?