A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(h) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma posição como função do tempo dada por s(t) = 4 - (1/8) cos(4 t). Em que instantes de tempo, as partículas se encontram?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! Temos duas partículas se movendo ao longo do mesmo eixo. A primeira partícula começa na posição 0,125 com uma velocidade inicial de 0,5. A aceleração dela varia com o tempo e é dada por . A segunda partícula tem sua posição descrita pela função . Nosso objetivo é descobrir em que momentos essas duas partículas estão na mesma posição, ou seja, quando se encontram.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente a integração da aceleração para encontrar a velocidade e, depois, a posição da primeira partícula. Depois, igualamos as posições das duas partículas e resolvemos para o tempo .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da primeira partícula. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar a velocidade , vamos integrar a aceleração:

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, somando as duas integrais:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a constante de integração usando a condição inicial da velocidade. Sabemos que quando , a velocidade :
Portanto, a expressão da velocidade é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a posição da primeira partícula integrando a velocidade:

Passo 6

Integrando cada termo:
Somando tudo:

Passo 7

Determinar a constante de integração usando a condição inicial da posição. Sabemos que quando , :
Portanto, a posição da primeira partícula é:

Passo 8

Agora que temos as posições das duas partículas, vamos igualá-las para encontrar os instantes em que se encontram:

Passo 9

Simplificando a equação:
Podemos eliminar o termo de ambos os lados:

Passo 10

Vamos resolver para :
Multiplicando todos os termos por 6 para eliminar o denominador:

Passo 11

Agora, temos uma equação cúbica:
Essa equação não é fácil de resolver analiticamente, então vamos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar a raiz. Vamos procurar um valor de que satisfaça a equação.
Testando :
Testando :
Sabemos que entre e a função muda de sinal, indicando que existe uma raiz nesse intervalo.
Usando um método de aproximação, como a Regra de Newton-Raphson, podemos estimar . Para simplificar, vamos supor que a solução está próximo de .
Testando :
Estamos perto de zero. Vamos testar :
Agora, sabemos que a raiz está entre 2,4 e 2,5. Refinando:
Entre e :
Em :
Em :
Parece que a raiz está mais próxima de . Para fins práticos, podemos aproximar segundos.

Resposta

As partículas se encontram aproximadamente no instante de tempo segundos.

Exercícios relacionados

A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(b) Encontre a velocidade como função do tempo.
A posição de uma partícula é dada como função do tempo por s(t) = 1 - 3t + t^2 + 3t^3 de modo unidimensional.
(g) Em que instantes de tempo a partícula tem seu sentido negativo em relação ao sistema.
Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
s = 4 sen(2 pi t) / t
© Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo segundo a função s(t) = 4 / t. Em que instantes de tempo esta última encontra-se com a primeira?
Um sólido S é gerado fazendo girar em torno do eixo y a região delimitada pela reta y = x + 1 e a curva y = x^2 + 1.
(a) Dado y entre \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 e \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 , a área da seção transversal de S em y, perpendicular ao eixo y, é A(y) = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 —.
(b) Uma expressão integral para o volume de S é \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 .