A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
(h) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma posição como função do tempo dada por
. Em que instantes de tempo, as partículas se encontram?
(h) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma posição como função do tempo dada por
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! Temos duas partículas se movendo ao longo do mesmo eixo. A primeira partícula começa na posição 0,125 com uma velocidade inicial de 0,5. A aceleração dela varia com o tempo e é dada por
. A segunda partícula tem sua posição descrita pela função
. Nosso objetivo é descobrir em que momentos essas duas partículas estão na mesma posição, ou seja, quando se encontram.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente a integração da aceleração para encontrar a velocidade e, depois, a posição da primeira partícula. Depois, igualamos as posições das duas partículas e resolvemos para o tempo
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da primeira partícula. Sabemos que a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Para encontrar a velocidade
, vamos integrar a aceleração:
Passo 3
Vamos integrar cada termo separadamente:
Então, somando as duas integrais:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a constante de integração
usando a condição inicial da velocidade. Sabemos que quando
, a velocidade
:
Portanto, a expressão da velocidade é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a posição
da primeira partícula integrando a velocidade:
Passo 6
Integrando cada termo:
Somando tudo:
Passo 7
Determinar a constante de integração
usando a condição inicial da posição. Sabemos que quando
,
:
Portanto, a posição da primeira partícula é:
Passo 8
Agora que temos as posições das duas partículas, vamos igualá-las para encontrar os instantes
em que se encontram:
Passo 9
Simplificando a equação:
Podemos eliminar o termo
de ambos os lados:
Passo 10
Vamos resolver para
:
Multiplicando todos os termos por 6 para eliminar o denominador:
Passo 11
Agora, temos uma equação cúbica:
Essa equação não é fácil de resolver analiticamente, então vamos usar métodos numéricos ou gráficos para encontrar a raiz. Vamos procurar um valor de
que satisfaça a equação.
Testando
:
Testando
:
Sabemos que entre
e
a função muda de sinal, indicando que existe uma raiz nesse intervalo.
Usando um método de aproximação, como a Regra de Newton-Raphson, podemos estimar
. Para simplificar, vamos supor que a solução está próximo de
.
Testando
:
Estamos perto de zero. Vamos testar
:
Agora, sabemos que a raiz está entre 2,4 e 2,5. Refinando:
Entre
e
:
Em
:
Em
:
Parece que a raiz está mais próxima de
. Para fins práticos, podemos aproximar
segundos.
Resposta
As partículas se encontram aproximadamente no instante de tempo
segundos.
Exercícios relacionados
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
(b) Encontre a velocidade como função do tempo.
(b) Encontre a velocidade como função do tempo.
A posição de uma partícula é dada como função do tempo por
de modo unidimensional.
(g) Em que instantes de tempo a partícula tem seu sentido negativo em relação ao sistema.
(g) Em que instantes de tempo a partícula tem seu sentido negativo em relação ao sistema.
Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
© Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo segundo a função
. Em que instantes de tempo esta última encontra-se com a primeira?
Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e a curva
.
(a) Dado entre
e
, a área da seção transversal de
em
, perpendicular ao eixo
, é
—.
(b) Uma expressão integral para o volume de é
.
(a) Dado
(b) Uma expressão integral para o volume de