A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(f) Qual o deslocamento da partícula entre os instantes 0 e pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que temos uma partícula que se move em uma dimensão. No tempo inicial (t = 0), a posição dela é 0,125 e a velocidade é 0,5. A aceleração dela varia com o tempo, conforme a função . A pergunta é: qual foi o deslocamento dessa partícula entre o tempo 0 e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar a velocidade e depois a posição da partícula ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a função da velocidade , precisamos integrar a função da aceleração.
A equação da aceleração é:
Integrando em relação ao tempo:

Passo 3

Vamos calcular a integral:
Integrando cada termo:
  • Para :
  • Para :
Então, a função da velocidade fica:

Passo 4

Agora, vamos determinar a constante de integração usando a condição inicial. Sabemos que em , .
Substituindo na equação da velocidade:
Então, a função da velocidade é:

Passo 5

Agora que temos a função da velocidade, vamos encontrar a posição da partícula. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
A função da velocidade é:
Integrando para encontrar a posição :

Passo 6

Calculando a integral:
Integrando cada termo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a função da posição fica:

Passo 7

Vamos determinar a constante de integração usando a condição inicial. Sabemos que em , .
Substituindo na equação da posição:
Então, a função da posição é:

Passo 8

Agora, vamos calcular o deslocamento entre e .
O deslocamento é dado por:
Calculando :
Como , o deslocamento é:

Resposta

O deslocamento da partícula entre os instantes e é:
Aproximando os valores numéricos:
çã

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