A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
(f) Qual o deslocamento da partícula entre os instantes 0 e
.
(f) Qual o deslocamento da partícula entre os instantes 0 e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão diz que temos uma partícula que se move em uma dimensão. No tempo inicial (t = 0), a posição dela é 0,125 e a velocidade é 0,5. A aceleração dela varia com o tempo, conforme a função
. A pergunta é: qual foi o deslocamento dessa partícula entre o tempo 0 e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integrais, para encontrar a velocidade e depois a posição da partícula ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar a função da velocidade
, precisamos integrar a função da aceleração.
A equação da aceleração é:
Integrando em relação ao tempo:
Passo 3
Vamos calcular a integral:
Integrando cada termo:
- Para
: - Para
:
Então, a função da velocidade fica:
Passo 4
Agora, vamos determinar a constante de integração
usando a condição inicial. Sabemos que em
,
.
Substituindo na equação da velocidade:
Então, a função da velocidade é:
Passo 5
Agora que temos a função da velocidade, vamos encontrar a posição da partícula. A posição é a integral da velocidade em relação ao tempo.
A função da velocidade é:
Integrando para encontrar a posição
:
Passo 6
Calculando a integral:
Integrando cada termo:
- Para
: - Para
: - Para
:
Então, a função da posição fica:
Passo 7
Vamos determinar a constante de integração
usando a condição inicial. Sabemos que em
,
.
Substituindo na equação da posição:
Então, a função da posição é:
Passo 8
Agora, vamos calcular o deslocamento entre
e
.
O deslocamento é dado por:
Calculando
:
Como
, o deslocamento é:
Resposta
O deslocamento da partícula entre os instantes
e
é:
Aproximando os valores numéricos:
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A posição de uma partícula é dada como função do tempo por
de modo unidimensional.
(j) Encontre a posição em que a partícula tem sua velocidade nula.
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(e) Em que instantes de tempo a partícula muda de sentido?
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Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
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