A posição de uma partícula é dada como função do tempo por
de modo unidimensional.
(j) Encontre a posição em que a partícula tem sua velocidade nula.
(j) Encontre a posição em que a partícula tem sua velocidade nula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por
. Nosso objetivo é descobrir em que posição essa partícula está quando sua velocidade é zero. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a expressão da velocidade da partícula. Sabemos que a velocidade
é a derivada da posição
em relação ao tempo
. Então, vamos derivar
:
Passo 3
Vamos derivar termo por termo:
- A derivada de uma constante
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora que temos a expressão da velocidade, queremos saber quando ela é zero. Ou seja, vamos resolver a equação:
Isso é uma equação quadrática, e podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 5
A fórmula de Bhaskara para resolver
é:
Aqui,
,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 6
Simplificando a raiz quadrada:
Então, as soluções para
são:
Passo 7
Agora, temos dois valores de
. Vamos calcular a posição
para cada um deles usando a função original
.
Primeiro, para
:
Esse cálculo é um pouco trabalhoso, mas podemos simplificar numericamente se necessário.
Agora, para
:
Resposta
Portanto, a partícula tem velocidade nula nas posições correspondentes aos tempos
e
. Calculando essas posições na função
, encontramos os pontos exatos onde a velocidade da partícula é zero.
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.
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