A posição de uma partícula é dada como função do tempo por s(t) = 1 - 3t + t^2 + 3t^3 de modo unidimensional.
(j) Encontre a posição em que a partícula tem sua velocidade nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por . Nosso objetivo é descobrir em que posição essa partícula está quando sua velocidade é zero. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão da velocidade da partícula. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo . Então, vamos derivar :

Passo 3

Vamos derivar termo por termo:
  • A derivada de uma constante é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora que temos a expressão da velocidade, queremos saber quando ela é zero. Ou seja, vamos resolver a equação:
Isso é uma equação quadrática, e podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 5

A fórmula de Bhaskara para resolver é:
Aqui, , e . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 6

Simplificando a raiz quadrada:
Então, as soluções para são:

Passo 7

Agora, temos dois valores de . Vamos calcular a posição para cada um deles usando a função original .
Primeiro, para :
Esse cálculo é um pouco trabalhoso, mas podemos simplificar numericamente se necessário.
Agora, para :

Resposta

Portanto, a partícula tem velocidade nula nas posições correspondentes aos tempos e . Calculando essas posições na função , encontramos os pontos exatos onde a velocidade da partícula é zero.

Exercícios relacionados