A posição de uma partícula é dada como função do tempo por s(t) = 1 - 3t + t^2 + 3t^3 de modo unidimensional.
(j) Encontre a posição em que a partícula tem sua velocidade nula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por . Nosso objetivo é descobrir em que posição essa partícula está quando sua velocidade é zero. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a expressão da velocidade da partícula. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo . Então, vamos derivar :

Passo 3

Vamos derivar termo por termo:
  • A derivada de uma constante é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora que temos a expressão da velocidade, queremos saber quando ela é zero. Ou seja, vamos resolver a equação:
Isso é uma equação quadrática, e podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 5

A fórmula de Bhaskara para resolver é:
Aqui, , e . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 6

Simplificando a raiz quadrada:
Então, as soluções para são:

Passo 7

Agora, temos dois valores de . Vamos calcular a posição para cada um deles usando a função original .
Primeiro, para :
Esse cálculo é um pouco trabalhoso, mas podemos simplificar numericamente se necessário.
Agora, para :

Resposta

Portanto, a partícula tem velocidade nula nas posições correspondentes aos tempos e . Calculando essas posições na função , encontramos os pontos exatos onde a velocidade da partícula é zero.

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A posição de uma partícula é dada como função do tempo por s(t) = 1 - 3t + t^2 + 3t^3 de modo unidimensional.
(e) Em que instantes de tempo a partícula muda de sentido?
Use a Regra do Ponto Médio com o valor dado para aproximar a integral. Arredonde cada resposta para quatro casas decimais.
integral0^10 sen raizx d x, y=5
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(f) Qual o deslocamento da partícula entre os instantes 0 e pi / 2.
Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral1^4(x^2-2) d x