A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo horizontal
é dada por:
onde
e
são constantes. Se
for dada em metros e
em segundos, mostre que
deve ser dado em
e
deve ser dado em
. (a) Obtenha a expressão para a velocidade da partícula. (b) Obtenha a expressão para a aceleração da partícula. © Usando os valores
e
, determine em que instante a partícula alcança o ponto no qual o valor de
é máximo.
(respostas: (a)
; (b)
; ©
.)
(respostas: (a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a posição de uma partícula que se move ao longo do eixo horizontal
e é dada pela equação:
Aqui,
está em metros (m) e
em segundos (s). A gente precisa mostrar que as constantes
e
têm as unidades
e
respectivamente. Além disso, temos três partes para resolver: encontrar a velocidade, a aceleração e o instante em que a posição é máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir as unidades de
e
. Sabemos que a posição
está em metros. Então, cada termo na equação deve também estar em metros.
Para o primeiro termo
:
-
tem unidades de . - Para que
seja em metros, precisa ter unidades de .
Para o segundo termo
:
-
tem unidades de . - Para que
seja em metros, precisa ter unidades de .
Passo 3
Agora, vamos para a parte (a): obter a expressão para a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
A derivada de
em relação a
é:
Aplicando a regra da derivada:
Passo 4
Seguimos para a parte (b): encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição.
Derivando a velocidade:
Aplicando a regra da derivada:
Passo 5
Agora, vamos para a parte ©: determinar em que instante a partícula alcança o ponto onde
é máximo, usando
e
.
Para encontrar o ponto máximo da posição, precisamos achar quando a velocidade é zero (pois nesse ponto a partícula para momentaneamente antes de mudar de direção).
Usando a expressão da velocidade:
Substituindo os valores de
e
:
Fatorando:
Assim, temos duas soluções:
-
segundos (início) -
segundos
Como estamos procurando o instante após o início, a resposta é
segundos.
Resposta
(a)
(b)
©
Exercícios relacionados
Seja um atleta que anda uma distância
com velocidade
e depois corre uma distância
com uma velocidade
. Calcule a velocidade média do atleta.
(resposta:
(resposta:
Um grilo salta da beira de um pequeno lago com uma velocidade inicial de
de um ângulo de lançamento de 60 graus em relação à horizontal.
Determine a distância horizontal total percorrida pelo grilo antes de tocar a superfície da água novamente.
Determine a distância horizontal total percorrida pelo grilo antes de tocar a superfície da água novamente.
Um elevador tem peso de 28.000 N e está se movendo para cima. Determine a tensão no cabo que sustenta o elevador nos seguintes casos:
A velocidade do elevador está diminuindo a uma taxa de .
A velocidade do elevador está diminuindo a uma taxa de
Um elevador tem peso de 28.000 N e está se movendo para cima. Determine a tensão no cabo que sustenta o elevador nos seguintes casos:
A velocidade do elevador está aumentando a uma taxa de .
A velocidade do elevador está aumentando a uma taxa de