A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo horizontal O x é dada por:
x=b1 t^3-b2 t^4
onde b1 e b2 são constantes. Se x for dada em metros e t em segundos, mostre que b1 deve ser dado em m / s^3 e b2 deve ser dado em m / s^4. (a) Obtenha a expressão para a velocidade da partícula. (b) Obtenha a expressão para a aceleração da partícula. © Usando os valores b1=2 m / s^3 e b2=1 m / s^4, determine em que instante a partícula alcança o ponto no qual o valor de x é máximo.
(respostas: (a) v=3 b1 t^2-4 b2 t^3; (b) a=6 b1 t-12 b2 t^2; © t=1,5 s.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a posição de uma partícula que se move ao longo do eixo horizontal x = b1 t^3 - b2 t^4 e é dada pela equação:
Aqui, está em metros (m) e em segundos (s). A gente precisa mostrar que as constantes e têm as unidades e respectivamente. Além disso, temos três partes para resolver: encontrar a velocidade, a aceleração e o instante em que a posição é máxima.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir as unidades de e . Sabemos que a posição está em metros. Então, cada termo na equação deve também estar em metros.
Para o primeiro termo :
  • tem unidades de .
  • Para que seja em metros, precisa ter unidades de .
Para o segundo termo :
  • tem unidades de .
  • Para que seja em metros, precisa ter unidades de .

Passo 3

Agora, vamos para a parte (a): obter a expressão para a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
A derivada de v = dxdt = ddt(b1 t^3 - b2 t^4) em relação a v = 3 b1 t^2 - 4 b2 t^3 é:
Aplicando a regra da derivada:

Passo 4

Seguimos para a parte (b): encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição.
Derivando a velocidade:
a = dvdt = ddt(3 b1 t^2 - 4 b2 t^3)
Aplicando a regra da derivada:
a = 6 b1 t - 12 b2 t^2

Passo 5

Agora, vamos para a parte ©: determinar em que instante a partícula alcança o ponto onde v = 3 b1 t^2 - 4 b2 t^3 é máximo, usando 0 = 3 times 2 times t^2 - 4 times 1 times t^3 0 = 6 t^2 - 4 t^3 e 0 = t^2(6 - 4 t) .
Para encontrar o ponto máximo da posição, precisamos achar quando a velocidade é zero (pois nesse ponto a partícula para momentaneamente antes de mudar de direção).
Usando a expressão da velocidade:
Substituindo os valores de e :
Fatorando:
Assim, temos duas soluções:
  1. segundos (início)
  2. segundos
Como estamos procurando o instante após o início, a resposta é segundos.

Resposta

(a)
(b)
©

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