A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x=A+B t+C t^3, onde x é medido em metros e o tempo t em segundos. b) Determine a expressão da velocidade e da aceleração em função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a posição de uma partícula ao longo do eixo x dada pela equação x = A + B t + C t^3. Queremos encontrar as expressões da velocidade e da aceleração em função do tempo t. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, onde a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão da velocidade. Como a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ela é a derivada de x em relação a t.
A função da posição é:
x(t) = A + B t + C t^3
Vamos derivar cada termo em relação a t:
  • A derivada de A (uma constante) é 0.
  • A derivada de B t é B.
  • A derivada de C t^3 é 3 C t^2.
Então, a expressão da velocidade v(t) é:
v(t) = dxdt = 0 + B + 3 C t^2 = B + 3 C t^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a expressão da aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a derivada de v(t) em relação a t.
Já temos:
v(t) = B + 3 C t^2
Vamos derivar cada termo:
  • A derivada de B (uma constante) é 0.
  • A derivada de 3 C t^2 é 6 C t.
Portanto, a expressão da aceleração a(t) é:
a(t) = dvdt = 0 + 6 C t = 6 C t

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é:
v(t) = B + 3 C t^2
E a aceleração em função do tempo é:
a(t) = 6 C t

Exercícios relacionados