A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo
varia com o tempo de acordo com a equação
, onde
é medido em metros e o tempo
em segundos. b) Determine a expressão da velocidade e da aceleração em função do tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem a posição de uma partícula ao longo do eixo
dada pela equação
. Queremos encontrar as expressões da velocidade e da aceleração em função do tempo
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, onde a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo, e a aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão da velocidade. Como a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ela é a derivada de
em relação a
.
A função da posição é:
Vamos derivar cada termo em relação a
:
- A derivada de
(uma constante) é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, a expressão da velocidade
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a expressão da aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Já temos:
Vamos derivar cada termo:
- A derivada de
(uma constante) é . - A derivada de
é .
Portanto, a expressão da aceleração
é:
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é:
E a aceleração em função do tempo é: