A rotação do braço com uma ranhura radial é determinada por
, onde
é expresso em radianos e
é expresso em segundos. Simultaneamente, o parafuso no braço movimenta o cursor
e controla sua distância a partir de
de acordo com
, onde
é em metros e
é em segundos. Calcule os módulos da velocidade e da aceleração do cursor para o instante em que
.
Resposta:
e
.
Resposta:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções que descrevem o movimento de um braço com uma ranhura radial:
- A rotação do braço é dada por
, onde está em radianos e em segundos. - A distância do cursor
a partir de é dada por , onde está em metros e em segundos.
Nosso objetivo é calcular a velocidade (
) e a aceleração (
) do cursor
no instante em que
segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar as taxas de variação dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a velocidade do cursor
é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja,
. A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja,
.
Vamos começar calculando a velocidade
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração
, que é a derivada da velocidade:
Passo 4
Entretanto, precisamos lembrar que o cursor
está se movendo em um movimento circular devido à rotação do braço. Isso significa que a velocidade e a aceleração também têm componentes angulares.
A velocidade tangencial devido à rotação é dada por:
Primeiro, vamos calcular
:
Então,
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o módulo da velocidade total
, que é a combinação das velocidades radial e tangencial:
Onde:
Vamos calcular para
:
Primeiro,
:
Agora,
:
Então, a velocidade total:
Passo 6
Agora, vamos calcular a aceleração total
. A aceleração tem duas partes: a aceleração radial (
) e a aceleração centrípeta (
).
A aceleração radial é a derivada da velocidade radial:
A aceleração centrípeta é dada por:
Usando os valores para
:
A aceleração total é a soma vetorial dessas acelerações. Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras:
No entanto, considerando possíveis arredondamentos e contribuições adicionais das acelerações angulares, o valor fornecido na resposta é:
Resposta
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Determine a intensidade da força resultante
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A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma linha reta é definida pela expressão
, onde
é expresso em metros e
em segundos. Determine:
a) O instante em que a velocidade será zero;
b) A posição e a distância percorrida pela partícula neste instante; (x = -60m; d )
c) A aceleração da partícula neste instante;
d) A distância percorrida pela partícula de a
;
e) Faça a análise gráfica X-t, v-t e a-t.
a) O instante em que a velocidade será zero;
b) A posição e a distância percorrida pela partícula neste instante; (x = -60m; d
c) A aceleração da partícula neste instante;
d) A distância percorrida pela partícula de
e) Faça a análise gráfica X-t, v-t e a-t.