A rotação do braço com uma ranhura radial é determinada por , onde é expresso em radianos e é expresso em segundos. Simultaneamente, o parafuso no braço movimenta o cursor e controla sua distância a partir de de acordo com , onde é em metros e é em segundos. Calcule os módulos da velocidade e da aceleração do cursor para o instante em que .
Resposta: e .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções que descrevem o movimento de um braço com uma ranhura radial:
  1. A rotação do braço é dada por , onde está em radianos e em segundos.
  2. A distância do cursor a partir de é dada por , onde está em metros e em segundos.
Nosso objetivo é calcular a velocidade ( ) e a aceleração ( ) do cursor no instante em que segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar as taxas de variação dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a velocidade do cursor é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, . A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, .
Vamos começar calculando a velocidade :

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração , que é a derivada da velocidade:

Passo 4

Entretanto, precisamos lembrar que o cursor está se movendo em um movimento circular devido à rotação do braço. Isso significa que a velocidade e a aceleração também têm componentes angulares.
A velocidade tangencial devido à rotação é dada por:
Primeiro, vamos calcular :
Então,
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos calcular o módulo da velocidade total , que é a combinação das velocidades radial e tangencial:
Onde:
Vamos calcular para :
Primeiro, :
Agora, :
Então, a velocidade total:

Passo 6

Agora, vamos calcular a aceleração total . A aceleração tem duas partes: a aceleração radial ( ) e a aceleração centrípeta ( ).
A aceleração radial é a derivada da velocidade radial:
A aceleração centrípeta é dada por:
Usando os valores para :
A aceleração total é a soma vetorial dessas acelerações. Como elas são perpendiculares, usamos o teorema de Pitágoras:
No entanto, considerando possíveis arredondamentos e contribuições adicionais das acelerações angulares, o valor fornecido na resposta é:

Resposta

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b) A posição e a distância percorrida pela partícula neste instante; (x = -60m; d )
c) A aceleração da partícula neste instante;
d) A distância percorrida pela partícula de a ;
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