A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma linha reta é definida pela expressão X=t^3-6 t^2-15 t+40, onde X é expresso em metros e t em segundos. Determine:
d) A distância percorrida pela partícula de t=4 s a t=6 s; (d=18 m)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cinemática onde a posição de uma partícula ao longo do tempo é dada pela função . Aqui, está em metros e em segundos. Nosso objetivo é descobrir qual foi a distância total que a partícula percorreu entre segundos e segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa distância percorrida. Diferente do deslocamento, que é a diferença entre a posição final e a inicial, a distância considera todo o trajeto percorrido, independentemente da direção. Então, precisamos verificar se a partícula mudou de direção nesse intervalo de tempo.

Passo 3

Para descobrir se a partícula mudou de direção entre V(t) = dXdt = 3t^2 - 12t -15 e , vamos calcular a velocidade da partícula nesse intervalo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar a função :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de 3t^2 - 12t -15 = 0 onde a velocidade é zero, porque esses pontos indicam possíveis mudanças de direção. Então, resolvemos a equação:
t^2 - 4t -5 = 0
Dividindo todos os termos por 3 para simplificar:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática t = 4 pm raiz(4)^2 - 4 cdot 1 cdot (-5)2 cdot 1 = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362 usando a fórmula de Bhaskara:
t = 4 pm 62
t = 102 = 5 e t = -22 = -1
Então, as soluções são:
Como estamos considerando entre 4 e 6 segundos, o único valor relevante é segundos.

Passo 6

Agora, vamos calcular a posição da partícula nos instantes X(4) = (4)^3 - 6(4)^2 -15(4) +40 = 64 - 96 -60 +40 = -52 , m , X(5) = (5)^3 - 6(5)^2 -15(5) +40 = 125 - 150 -75 +40 = -60 , m e X(6) = (6)^3 - 6(6)^2 -15(6) +40 = 216 - 216 -90 +40 = -50 , m segundos usando a função :
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos analisar as posições para encontrar a distância percorrida:
  • De 8 , m + 10 , m = 18 , m s a s, a partícula vai de m para m, ou seja, moveu-se metros na direção negativa.
  • De s a s, ela vai de m para m, movendo-se metros na direção positiva.
Como a distância é o caminho total percorrido, somamos os valores absolutos:

Resposta

A distância percorrida pela partícula de s a s é de metros.

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