A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma linha reta é definida pela expressão , onde X é expresso em metros e t em segundos. Determine:
d) A distância percorrida pela partícula de a ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cinemática onde a posição de uma partícula ao longo do tempo é dada pela função . Aqui, está em metros e em segundos. Nosso objetivo é descobrir qual foi a distância total que a partícula percorreu entre segundos e segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa distância percorrida. Diferente do deslocamento, que é a diferença entre a posição final e a inicial, a distância considera todo o trajeto percorrido, independentemente da direção. Então, precisamos verificar se a partícula mudou de direção nesse intervalo de tempo.

Passo 3

Para descobrir se a partícula mudou de direção entre e , vamos calcular a velocidade da partícula nesse intervalo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar a função :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores de onde a velocidade é zero, porque esses pontos indicam possíveis mudanças de direção. Então, resolvemos a equação:
Dividindo todos os termos por 3 para simplificar:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Como estamos considerando entre 4 e 6 segundos, o único valor relevante é segundos.

Passo 6

Agora, vamos calcular a posição da partícula nos instantes , e segundos usando a função :
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Agora, vamos analisar as posições para encontrar a distância percorrida:
  • De s a s, a partícula vai de m para m, ou seja, moveu-se metros na direção negativa.
  • De s a s, ela vai de m para m, movendo-se metros na direção positiva.
Como a distância é o caminho total percorrido, somamos os valores absolutos:

Resposta

A distância percorrida pela partícula de s a s é de metros.

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