A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma linha reta é definida pela expressão
, onde X é expresso em metros e t em segundos. Determine:
d) A distância percorrida pela partícula de
a
;
d) A distância percorrida pela partícula de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cinemática onde a posição de uma partícula ao longo do tempo é dada pela função
. Aqui,
está em metros e
em segundos. Nosso objetivo é descobrir qual foi a distância total que a partícula percorreu entre
segundos e
segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa distância percorrida. Diferente do deslocamento, que é a diferença entre a posição final e a inicial, a distância considera todo o trajeto percorrido, independentemente da direção. Então, precisamos verificar se a partícula mudou de direção nesse intervalo de tempo.
Passo 3
Para descobrir se a partícula mudou de direção entre
e
, vamos calcular a velocidade da partícula nesse intervalo. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar a função
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os valores de
onde a velocidade é zero, porque esses pontos indicam possíveis mudanças de direção. Então, resolvemos a equação:
Dividindo todos os termos por 3 para simplificar:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
Como estamos considerando
entre 4 e 6 segundos, o único valor relevante é
segundos.
Passo 6
Agora, vamos calcular a posição da partícula nos instantes
,
e
segundos usando a função
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Agora, vamos analisar as posições para encontrar a distância percorrida:
-
De
s a s, a partícula vai de m para m, ou seja, moveu-se metros na direção negativa. -
De
s a s, ela vai de m para m, movendo-se metros na direção positiva.
Como a distância é o caminho total percorrido, somamos os valores absolutos:
Resposta
A distância percorrida pela partícula de
s a
s é de
metros.