A posição de uma partícula que se desloca ao longo de uma linha reta é definida pela expressão X=t^3-6 t^2-15 t+40, onde X é expresso em metros e t em segundos. Determine:
a) O instante em que a velocidade será zero; (t=5 s)

Passo 1

Vamos lá! A gente tem o enunciado que fala sobre a posição de uma partícula ao longo de uma linha reta, dada pela expressão , onde é a posição em metros e é o tempo em segundos. A gente precisa descobrir em que instante a velocidade dessa partícula será zero. Para isso, vamos precisar entender que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão da velocidade. Como velocidade é a derivada da posição, vamos derivar V(t) = dXdt = 3t^2 - 12t - 15 em relação a :
Então, a equação da velocidade é .

Passo 3

Agora, queremos saber quando a velocidade é zero. Para isso, igualamos a expressão da velocidade a zero e resolvemos para 3t^2 - 12t - 15 = 0 :
t^2 - 4t - 5 = 0
Podemos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
t = 4 pm raiz(4)^2 - 4 cdot 1 cdot (-5)2 cdot 1 = 4 pm raiz16 + 202 = 4 pm raiz362 = 4 pm 62
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t = 4 + 62 = 5 segundos
Isso nos dá duas soluções:
t = 4 - 62 = -1 segundos
Como tempo não pode ser negativo, descartamos segundos.

Resposta

O instante em que a velocidade da partícula é zero é segundos.

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