Use o Teste da Integral para determinar se a série
1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/15 + ...
é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos analisar a série . O assunto aqui é séries infinitas, e vamos usar o Teste da Integral para descobrir se essa série converge (tem uma soma finita) ou diverge (não tem soma finita).

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a série de uma forma geral. Observando os denominadores, vemos que eles aumentam de 4 em 4 começando de 3. Então, podemos escrever a série como:
Aqui, começa em 1 e vai até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos definir a função que representa os termos da série. Seja:
Para aplicar o Teste da Integral, essa função precisa ser positiva, contínua e decrescente para .

Passo 4

Vamos checar se atende aos critérios:
  • Positiva: Para , , então .
  • Contínua: A função é contínua para todo onde , o que é verdade para .
  • Decrescente: A derivada de é negativa:
Então, é decrescente.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Integral calculando a integral imprópria:
Vamos resolver essa integral.

Passo 6

Resolvendo a integral:
Agora, avaliamos os limites de 1 até o infinito:
À medida que vai para o infinito, também vai para o infinito. Portanto, a integral diverge.

Passo 7

Pelo Teste da Integral, se a integral associada à série diverge, então a série também diverge.

Resposta

A série é divergente.

Exercícios relacionados

Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral0^b(x^3+4 x) d x
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(j) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma velocidade como função do tempo dada por v(t) = 1/2 t^2 - 1/4 cos(4t + pi/2) + 3/4. Em que instantes de tempo, as partículas tem acelerações são iguais?
Considere um tanque que desloca-se horizontalmente com velocidade v = 36 Km/h em módulo. O mesmo possui um canhão cuja inclinação é de 30 graus com a horizontal e a saida do canhão está a uma altura de 5 m em relação ao solo. Um carro desloca-se na mesma linha de movimento do taque, mas com velocidade de 40 Km/h e no sentido oposto. Em um dado instante de tempo, a distância entre o tanque e o carro é de 2000 m . Considere que o canhão dispara nesse momento.
(b) Encontre a velocidade do carro em relação à bala no momento do disparo.
Considere um tanque que desloca-se horizontalmente com velocidade v = 36 Km/h em módulo. O mesmo possui um canhão cuja inclinação é de 30 graus com a horizontal e a saida do canhão está a uma altura de 5 m em relação ao solo. Um carro desloca-se na mesma linha de movimento do taque, mas com velocidade de 40 Km/h e no sentido oposto. Em um dado instante de tempo, a distância entre o tanque e o carro é de 2000 m . Considere que o canhão dispara nesse momento.
(h) Qual a equação da trajetória da bala?