Use o Teste da Integral para determinar se a série
é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos analisar a série
. O assunto aqui é séries infinitas, e vamos usar o Teste da Integral para descobrir se essa série converge (tem uma soma finita) ou diverge (não tem soma finita).
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a série de uma forma geral. Observando os denominadores, vemos que eles aumentam de 4 em 4 começando de 3. Então, podemos escrever a série como:
Aqui,
começa em 1 e vai até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos definir a função que representa os termos da série. Seja:
Para aplicar o Teste da Integral, essa função precisa ser positiva, contínua e decrescente para
.
Passo 4
Vamos checar se
atende aos critérios:
- Positiva: Para
, , então . - Contínua: A função
é contínua para todo onde , o que é verdade para . - Decrescente: A derivada de
é negativa:
Então,
é decrescente.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste da Integral calculando a integral imprópria:
Vamos resolver essa integral.
Passo 6
Resolvendo a integral:
Agora, avaliamos os limites de 1 até o infinito:
À medida que
vai para o infinito,
também vai para o infinito. Portanto, a integral diverge.
Passo 7
Pelo Teste da Integral, se a integral associada à série diverge, então a série também diverge.
Resposta
A série
é divergente.
Exercícios relacionados
Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
(j) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma velocidade como função do tempo dada por . Em que instantes de tempo, as partículas tem acelerações são iguais?
(j) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma velocidade como função do tempo dada por
Considere um tanque que desloca-se horizontalmente com velocidade
módulo. O mesmo possui um canhão cuja inclinação é de
com a horizontal e a saida do canhão está a uma altura de 5 m em relação ao solo. Um carro desloca-se na mesma linha de movimento do taque, mas com velocidade de
e no sentido oposto. Em um dado instante de tempo, a distância entre o tanque e o carro é de 2000 m . Considere que o canhão dispara nesse momento.
(b) Encontre a velocidade do carro em relação à bala no momento do disparo.
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Considere um tanque que desloca-se horizontalmente com velocidade
módulo. O mesmo possui um canhão cuja inclinação é de
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e no sentido oposto. Em um dado instante de tempo, a distância entre o tanque e o carro é de 2000 m . Considere que o canhão dispara nesse momento.
(h) Qual a equação da trajetória da bala?
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