A posição de uma partícula ao longo do eixo x depende do tempo conforme a equação
x(t)=A t-B t^2
sendo x dado em metros e t em segundos.
(b) Qual a velocidade da partícula em t=2 e t=4 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a posição de uma partícula ao longo do eixo x(t) = A t - B t^2 dada pela equação:
Aqui, está em metros e em segundos. O conteúdo envolvido é cinemática, especificamente movimento retilíneo. Para resolver a parte (b), precisamos encontrar a velocidade da partícula nos instantes e segundos. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade ( v(t) = dx(t)dt ) é a taxa de variação da posição ( ) em relação ao tempo ( ). Matematicamente, isso é representado pela derivada de :

Passo 3

Vamos calcular a derivada de v(t) = ddt(A t) - ddt(B t^2) em relação a ddt(A t) = A :
ddt(B t^2) = 2B t
Calculando cada termo separadamente:
  1. A derivada de em relação a é :
  2. A derivada de em relação a é :

Passo 4

Substituindo as derivadas encontradas na expressão de v(t) = A - 2B t :
Então, a velocidade da partícula em qualquer instante é dada por .

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade nos instantes específicos pedidos: v(2) = A - 2B times 2 = A - 4B segundos e v(4) = A - 2B times 4 = A - 8B segundos.
  1. Para :
  2. Para :

Resposta

A velocidade da partícula é . Portanto:
  • Em segundos, a velocidade é metros por segundo.
  • Em segundos, a velocidade é metros por segundo.

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