A posição de uma partícula ao longo do eixo x depende do tempo conforme a equação
x(t)=A t-B t^2
sendo x dado em metros e t em segundos.
© Qual a aceleração da partícula em t=2 e t=4 segundos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a posição de uma partícula ao longo do eixo x dada por x(t) = A t - B t^2, onde x está em metros e t em segundos. O que a gente precisa descobrir aqui é a aceleração da partícula nos instantes t = 2 e t = 4 segundos. Para isso, vamos mexer com derivadas, que fazem parte do estudo de Cálculo Diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, a gente precisa derivar a função x(t) duas vezes.

Passo 3

Vamos começar derivando a posição para encontrar a velocidade. A derivada de x(t) = A t - B t^2 em relação ao tempo t é:
v(t) = dxdt = A - 2B t
Então, a velocidade depende de t.

Passo 4

Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração. A derivada de v(t) = A - 2B t em relação ao tempo t é:
a(t) = dvdt = -2B
Isso mostra que a aceleração é uma constante e não depende de t.

Passo 5

Como a aceleração a(t) = -2B é constante, ela vale a mesma para qualquer valor de t. Portanto, a aceleração nos instantes t = 2 e t = 4 segundos é a mesma.

Resposta

A aceleração da partícula tanto em t = 2 segundos quanto em t = 4 segundos é -2B metros por segundo ao quadrado, ou seja:
a = -2B , m/s^2

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