Sabe-se que uma partícula se move no plano xy e sua posição é dada por r(t)=2 t^2 i+ (4 t+3) j, com t em segundos e r em metros.
(a) Qual seria o vetor velocidade em t=2 s ?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cinemática vetorial, que estuda o movimento de uma partícula no plano xy. A questão nos pede para encontrar o vetor velocidade da partícula no instante segundos. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente, isso significa que o vetor velocidade v(t) = dr(t)dt é a derivada do vetor posição em relação ao tempo :

Passo 3

A função posição é dada por:
r(t) = 2t^2 i + (4t + 3) j
Vamos derivar cada componente separadamente:
  1. Componente ddt(2t^2) = 4t :
ddt(4t + 3) = 4
  1. Componente v(t) = 4t i + 4 j :
Portanto, o vetor velocidade fica:

Passo 4

Agora, substituímos v(2) = 4 times 2 i + 4 j = 8 i + 4 j segundos na expressão da velocidade:

Resposta

O vetor velocidade da partícula no instante v(2) = 8, i + 4, j , m/s segundos é:

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