Problema 4.-A força da resistência de um fluido possui direção e sentido sempre contrários aos da velocidade do corpo em relação ao fluido. O módulo da força da resistência de um fluido normalmente cresce com a velocidade do corpo através do fluido. Para pequenos objetos movendo-se em baixas velocidades, a força f da resistência de um fluido é aproximadamente proporcional à velocidade v do corpo mas no sentido contrário ao movimento, f=-K v . Encontre a expressão para a velocidade em função do tempo considerando que a partícula parte do repouso.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma partícula que tá se movendo em um fluido e a resistência desse fluido é proporcional à velocidade dela, mas sempre na direção oposta. Isso significa que a força de resistência pode ser escrita como , onde é uma constante positiva. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a velocidade em função do tempo , considerando que a partícula começa do repouso. Vamos precisar usar a segunda lei de Newton e resolver uma equação diferencial simples.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração: m dvdt = -K v . No nosso caso, a única força atuando é a força de resistência do fluido, que é . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Vamos dividir os dois lados por dvdt = -Km v para simplificar:
v(t) = v0 e^-Km t
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução geral é:

Passo 4

Precisamos aplicar a condição inicial que a partícula parte do repouso, ou seja, 0 = v0 e^0 implies 0 = v0 . Vamos substituir v(t) = 0 cdot e^-Km t = 0 na solução geral:
Isso nos mostra que . Então, a solução particular é:

Resposta

A velocidade da partícula em função do tempo é .

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