Problema 4.-A força da resistência de um fluido possui direção e sentido sempre contrários aos da velocidade do corpo em relação ao fluido. O módulo da força da resistência de um fluido normalmente cresce com a velocidade do corpo através do fluido. Para pequenos objetos movendo-se em baixas velocidades, a força
da resistência de um fluido é aproximadamente proporcional à velocidade v do corpo mas no sentido contrário ao movimento,
. Encontre a expressão para a velocidade em função do tempo considerando que a partícula parte do repouso.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma partícula que tá se movendo em um fluido e a resistência desse fluido é proporcional à velocidade dela, mas sempre na direção oposta. Isso significa que a força de resistência pode ser escrita como
, onde
é uma constante positiva. Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a velocidade
em função do tempo
, considerando que a partícula começa do repouso. Vamos precisar usar a segunda lei de Newton e resolver uma equação diferencial simples.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
. No nosso caso, a única força atuando é a força de resistência do fluido, que é
. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. Vamos dividir os dois lados por
para simplificar:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução geral é:
Passo 4
Precisamos aplicar a condição inicial que a partícula parte do repouso, ou seja,
. Vamos substituir
na solução geral:
Isso nos mostra que
. Então, a solução particular é:
Resposta
A velocidade da partícula em função do tempo é
.