Problema 1.-Um inventor propõe a construção de um pêndulo usando um peso de massa
na extremidade de um fio de comprimento L. Em vez de oscilar para a frente e para trás, o peso se move em um círculo horizontal com velocidade escalar constante, e o fio faz um angulo
constante com a direção vertical. Ache o período T.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um pêndulo onde o peso está se movendo em um círculo horizontal, com o fio fazendo um ângulo constante
com a vertical. A gente precisa encontrar o período
dessa movimentação. Vamos usar conceitos de física como forças em equilíbrio e movimento circular para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma figura mental: temos um fio de comprimento
inclinado num ângulo
com a vertical, e um peso de massa
que está se movendo em um círculo horizontal. Isso significa que o peso está acelerando para manter o movimento circular, e essa aceleração é a força centrípeta.
Passo 3
Vamos analisar as forças atuando no peso. Tem duas principais:
- Peso (
): Age para baixo. - Tensão do fio (
): Tem duas componentes porque o fio está inclinado: - Componente vertical (
): Equilibra o peso. - Componente horizontal (
): Provoca a força centrípeta que mantém o movimento circular.
- Componente vertical (
Passo 4
Como o pêndulo está em equilíbrio vertical, a componente vertical da tensão do fio deve equilibrar o peso:
Daqui, podemos achar a tensão:
Passo 5
Agora, vamos para a força centrípeta. A componente horizontal da tensão é responsável por essa força:
Onde:
-
é a velocidade do peso. -
é o raio da trajetória circular, que é .
Passo 6
Substituindo
da Passo 4 na equação centrípeta:
Simplificando, o
cancela:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
O período
é o tempo que leva para completar uma volta. Sabemos que:
Substituindo
:
Passo 9
Substituindo
da Passo 7:
Simplificando:
Resposta
O período
do pêndulo é: