Problema 1.-Um inventor propõe a construção de um pêndulo usando um peso de massa na extremidade de um fio de comprimento L. Em vez de oscilar para a frente e para trás, o peso se move em um círculo horizontal com velocidade escalar constante, e o fio faz um angulo constante com a direção vertical. Ache o período T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um pêndulo onde o peso está se movendo em um círculo horizontal, com o fio fazendo um ângulo constante com a vertical. A gente precisa encontrar o período dessa movimentação. Vamos usar conceitos de física como forças em equilíbrio e movimento circular para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma figura mental: temos um fio de comprimento inclinado num ângulo com a vertical, e um peso de massa que está se movendo em um círculo horizontal. Isso significa que o peso está acelerando para manter o movimento circular, e essa aceleração é a força centrípeta.

Passo 3

Vamos analisar as forças atuando no peso. Tem duas principais:
  1. Peso ( ): Age para baixo.
  2. Tensão do fio ( ): Tem duas componentes porque o fio está inclinado:
    • Componente vertical ( ): Equilibra o peso.
    • Componente horizontal ( ): Provoca a força centrípeta que mantém o movimento circular.

Passo 4

Como o pêndulo está em equilíbrio vertical, a componente vertical da tensão do fio deve equilibrar o peso:
Daqui, podemos achar a tensão:

Passo 5

Agora, vamos para a força centrípeta. A componente horizontal da tensão é responsável por essa força:
Onde:
  • é a velocidade do peso.
  • é o raio da trajetória circular, que é .

Passo 6

Substituindo da Passo 4 na equação centrípeta:
Simplificando, o cancela:

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

O período é o tempo que leva para completar uma volta. Sabemos que:
Substituindo :

Passo 9

Substituindo da Passo 7:
Simplificando:

Resposta

O período do pêndulo é:

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