Problema 1.-Um inventor propõe a construção de um pêndulo usando um peso de massa m na extremidade de um fio de comprimento L. Em vez de oscilar para a frente e para trás, o peso se move em um círculo horizontal com velocidade escalar constante, e o fio faz um angulo beta constante com a direção vertical. Ache o período T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um pêndulo onde o peso está se movendo em um círculo horizontal, com o fio fazendo um ângulo constante beta com a vertical. A gente precisa encontrar o período T dessa movimentação. Vamos usar conceitos de física como forças em equilíbrio e movimento circular para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar uma figura mental: temos um fio de comprimento L inclinado num ângulo beta com a vertical, e um peso de massa m que está se movendo em um círculo horizontal. Isso significa que o peso está acelerando para manter o movimento circular, e essa aceleração é a força centrípeta.

Passo 3

Vamos analisar as forças atuando no peso. Tem duas principais:
  1. Peso ( mg): Age para baixo.
  2. Tensão do fio ( T): Tem duas componentes porque o fio está inclinado:
    • Componente vertical ( T cos beta): Equilibra o peso.
    • Componente horizontal ( T sin beta): Provoca a força centrípeta que mantém o movimento circular.

Passo 4

Como o pêndulo está em equilíbrio vertical, a componente vertical da tensão do fio deve equilibrar o peso:
T cos beta = mg
Daqui, podemos achar a tensão:
T = mgcos beta

Passo 5

Agora, vamos para a força centrípeta. A componente horizontal da tensão é responsável por essa força:
T sin beta = mv^2r
Onde:
  • v é a velocidade do peso.
  • r é o raio da trajetória circular, que é L sin beta.

Passo 6

Substituindo T da Passo 4 na equação centrípeta:
mgcos beta sin beta = mv^2L sin beta
Simplificando, o m cancela:
g sin betacos beta = v^2L sin beta
g tan beta = v^2L sin beta

Passo 7

Resolvendo para v^2:
v^2 = g L sin^2 beta div cos beta = g L sin^2 betacos beta

Passo 8

O período T é o tempo que leva para completar uma volta. Sabemos que:
T = 2pi rv
Substituindo r = L sin beta:
T = 2pi L sin betav

Passo 9

Substituindo v da Passo 7:
T = 2pi L sin betaraizg L sin^2 betacos beta
Simplificando:
T = 2pi raizL cos betag

Resposta

O período T do pêndulo é:
T = 2pi raizL cos betag

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