A velocidade de uma partícula que se move no plano x y é dada por: v(t)=(6,0 t-4,0 t^2) i+8,0 j(m / s) e t >= 0 em segundos. Considera-se que r0=15 i-10 j ( m ) para t=0 a ) Qual é a aceleração em t=3,0 s ? b) Encontre a posição em funão do tempo t. c) Qual é a possição para t=0 e t=2 s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula no plano xy. A gente tem a velocidade da partícula dada por v(t) = (6,0 t - 4,0 t^2),i + 8,0,j m/s e a posição inicial r0 = 15,i -10,j metros quando t=0. Vamos precisar de conceitos de cinemática, como velocidade, aceleração e posição em função do tempo, para resolver as partes a), b) e c) do exercício.

Passo 2

Parte a) Queremos encontrar a aceleração da partícula em t=3,0 segundos. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da v(t).
a(t) = dv(t)dt
Derivando cada termo:
  • Para a componente i: ddt(6,0 t - 4,0 t^2) = 6,0 - 8,0 t
  • Para a componente j: A componente é constante, então a derivada é 0.
Então, a(t) = (6,0 - 8,0 t),i + 0,j
Agora, substituímos t=3,0 segundos:
a(3,0) = 6,0 - 8,0 times 3,0 = 6,0 - 24,0 = -18,0,i, m/s^2

Passo 3

Parte b) Agora, vamos encontrar a posição da partícula em função do tempo t. Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo, somada à posição inicial.
r(t) = r0 + integral v(t),dt
Vamos integrar cada componente:
  1. Componente i:
    integral (6,0 t - 4,0 t^2),dt = 6,0 integral t,dt - 4,0 integral t^2,dt = 6,0 (t^22) - 4,0 (t^33) = 3,0 t^2 - 4,03 t^3
  2. Componente j:
    integral 8,0,dt = 8,0 t
Então, a posição em função do tempo fica:
r(t) = (15,i -10,j) + (3,0 t^2 - 4,03 t^3),i + 8,0 t,j
Simplificando:
r(t) = (15 + 3,0 t^2 - 4,03 t^3)i + (-10 + 8,0 t)j

Passo 4

Parte c) Precisamos encontrar a posição da partícula em t=0 e t=2,s usando a expressão que encontramos para r(t).
  1. Para t=0:
    Substituindo t=0 na equação:
r(0) = (15 + 3,0 (0)^2 - 4,03 (0)^3)i + (-10 + 8,0 times 0)j = 15,i -10,j
O que confirma nossa posição inicial.
  1. Para t=2,s:
    Substituindo t=2:
r(2) = (15 + 3,0 (2)^2 - 4,03 (2)^3)i + (-10 + 8,0 times 2)j
Calculando cada parte:
  • Na i:
    15 + 3,0 times 4 - 4,03 times 8 = 15 + 12 - 323 = 27 - 10,666 = 16,333
  • Na j:
    -10 + 16 = 6
Então, r(2) approx 16,33,i +6,j metros.

Resposta

a) A aceleração em t=3,0,s é a(3,0) = -18,0,i,m/s^2.
b) A posição em função do tempo é r(t) = (15 + 3,0 t^2 - 4,03 t^3)i + (-10 + 8,0 t)j metros.
c) A posição para t=0 é r(0) = 15,i -10,j metros e para t=2,s é aproximadamente r(2) = 16,33,i +6,j metros.

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