A velocidade de uma partícula que se move no plano é dada por: e em segundos. Considera-se que ( ) para ) Qual é a aceleração em ? b) Encontre a posição em funão do tempo t. c) Qual é a possição para e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula no plano . A gente tem a velocidade da partícula dada por m/s e a posição inicial metros quando . Vamos precisar de conceitos de cinemática, como velocidade, aceleração e posição em função do tempo, para resolver as partes a), b) e c) do exercício.

Passo 2

Parte a) Queremos encontrar a aceleração da partícula em segundos. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da .
Derivando cada termo:
  • Para a componente :
  • Para a componente : A componente é constante, então a derivada é .
Então,
Agora, substituímos segundos:

Passo 3

Parte b) Agora, vamos encontrar a posição da partícula em função do tempo . Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo, somada à posição inicial.
Vamos integrar cada componente:
  1. Componente :
  2. Componente :
Então, a posição em função do tempo fica:
Simplificando:

Passo 4

Parte c) Precisamos encontrar a posição da partícula em e usando a expressão que encontramos para .
  1. Para :
    Substituindo na equação:
O que confirma nossa posição inicial.
  1. Para :
    Substituindo :
Calculando cada parte:
  • Na :
  • Na :
Então, metros.

Resposta

a) A aceleração em é .
b) A posição em função do tempo é metros.
c) A posição para é metros e para é aproximadamente metros.

Exercícios relacionados

Um projétil é lançado do solo segundo uma direção que forma com a horizontal com uma velocidade de (veja a figura a seguir). Determine o módulo dos componentes horizontal, , e vertical, , dessa velocidade. (Dados: ; .)
Três pedaços de fio possuem comprimentos iguais a e 2 m . A expressão fisicamente correta da soma dos comprimentos dos fios é:
(d) ( )
Um projétil é disparado do solo com velocidade de , sob um ângulo de com a horizontal. Considerando-se que o solo é plano e horizontal, que a aceleração da gravidade local é . Determine: (a) O alcance do projétil; (b) O tempo para que o projétil atinja a altura máxima; A altura máxima em relação ao solo; (d) A que altura o projétil encontra-se em relação ao solo após A velocidade e a aceleração do projétil, na altura máxima.
A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por com em metros e t em segundos. Determine: para , a) o vetor posição , o vetor velocidade , o vetor aceleração da partícula; b) a velocidade da partícula num
tempo t qualquer; e) a velocidade média para o intervalo de tempo .