A velocidade de uma partícula que se move no plano
é dada por:
e
em segundos. Considera-se que
(
) para
) Qual é a aceleração em
? b) Encontre a posição em funão do tempo t. c) Qual é a possição para
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de uma partícula no plano
. A gente tem a velocidade da partícula dada por
m/s e a posição inicial
metros quando
. Vamos precisar de conceitos de cinemática, como velocidade, aceleração e posição em função do tempo, para resolver as partes a), b) e c) do exercício.
Passo 2
Parte a) Queremos encontrar a aceleração da partícula em
segundos. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente da
.
Derivando cada termo:
- Para a componente
: - Para a componente
: A componente é constante, então a derivada é .
Então,
Agora, substituímos
segundos:
Passo 3
Parte b) Agora, vamos encontrar a posição da partícula em função do tempo
. Sabemos que a posição é a integral da velocidade em relação ao tempo, somada à posição inicial.
Vamos integrar cada componente:
-
Componente
:
-
Componente
:
Então, a posição em função do tempo fica:
Simplificando:
Passo 4
Parte c) Precisamos encontrar a posição da partícula em
e
usando a expressão que encontramos para
.
- Para
:
Substituindona equação:
O que confirma nossa posição inicial.
- Para
:
Substituindo:
Calculando cada parte:
-
Na
:
-
Na
:
Então,
metros.
Resposta
a) A aceleração em
é
.
b) A posição em função do tempo é
metros.
c) A posição para
é
metros e para
é aproximadamente
metros.