A posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo
é dada por
, em que
é dado em segundos e
em centímetros. Calcule a velocidade média nos seguintes intervalos de tempo (simétricos em relação a
): (a) 2,00 a
; (b) 2,50 a
; © 2,75 a
; (d) 2,90 a
; e (e) 2,95 a 3,05 s. (f) Pode-se mostrar que, para esta partícula, a velocidade instantânea (
) é dada por
. Calcule a velocidade instantânea para
. (g) Agora considere uma partícula em MRUV segundo a equação
e determine a velocidade média nos intervalos de tempo 2,00 a
e (h) 2,50 a
. (i) Calcule também a velocidade instantânea para
. (j) Calcule ainda a média das velocidades instantâneas para
e para
. Quais são as conclusões que você pode tirar desses resultados?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a posição de uma partícula se movendo ao longo do eixo
dada por
, onde
está em segundos e
em centímetros. Precisamos calcular a velocidade média em diferentes intervalos de tempo em torno de
, além de calcular a velocidade instantânea nesse instante. Também vamos comparar com o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de cálculo de velocidade média e instantânea, além de entender a diferença entre movimentos com aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a velocidade média. A velocidade média
em um intervalo de tempo de
a
é dada por:
Ou seja, a mudança na posição dividida pelo intervalo de tempo.
Passo 3
Vamos resolver a parte (a): calcular a velocidade média no intervalo de
a
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular a velocidade média:
Passo 4
Agora, vamos para a parte (b): velocidade média no intervalo de
a
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular a velocidade média:
Passo 5
Vamos para a parte ©: velocidade média no intervalo de
a
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular a velocidade média:
Passo 6
Parte (d): velocidade média no intervalo de
a
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular a velocidade média:
Passo 7
Parte (e): velocidade média no intervalo de
a
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular a velocidade média:
Passo 8
Parte (f): calcular a velocidade instantânea em
usando a fórmula
.
- Substituir
:
Passo 9
Parte (g): agora considerando MRUV com
, calcular a velocidade média no intervalo de
a
.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular a velocidade média:
Passo 10
Parte (h): velocidade média no intervalo de
a
para MRUV.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Calcular a velocidade média:
Passo 11
Parte (i): calcular a velocidade instantânea em
para MRUV. No MRUV, a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo.
- Derivar
:
- Substituir
:
Passo 12
Parte (j): calcular a média das velocidades instantâneas em
e
para MRUV.
- Calcular
em :
- Calcular
em :
- Calcular a média das velocidades instantâneas:
Resposta
Após todos os cálculos:
- (a) Velocidade média de
a : - (b) Velocidade média de
a : - © Velocidade média de
a : - (d) Velocidade média de
a : - (e) Velocidade média de
a : - (f) Velocidade instantânea em
: - (g) Velocidade média para MRUV de
a : - (h) Velocidade média para MRUV de
a : - (i) Velocidade instantânea para MRUV em
: - (j) Média das velocidades instantâneas em
e :
Conclusões:
Para a partícula cujo movimento é definido por
, as velocidades médias nos intervalos próximos a
estão se aproximando do valor da velocidade instantânea (
) à medida que os intervalos ficam mais próximos de
. Isso ilustra como a velocidade instantânea pode ser considerada o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero.
Já para o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), as velocidades médias nos intervalos também coincidem com a velocidade instantânea, que é constante para esse tipo de movimento. Isso mostra que, no MRUV, a velocidade média em qualquer intervalo de tempo é igual à velocidade instantânea correspondente àquele instante.