A posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo x é dada por x=9,75+1,50 t^3, em que t é dado em segundos e x em centímetros. Calcule a velocidade média nos seguintes intervalos de tempo (simétricos em relação a t=3,00 s ): (a) 2,00 a 4,00 s; (b) 2,50 a 3,50 s; © 2,75 a 3,25 s; (d) 2,90 a 3,10 s; e (e) 2,95 a 3,05 s. (f) Pode-se mostrar que, para esta partícula, a velocidade instantânea ( em cm / s ) é dada por v =4,50 t^2. Calcule a velocidade instantânea para t=3,00 s. (g) Agora considere uma partícula em MRUV segundo a equação x=9,75+1,50 t^2 e determine a velocidade média nos intervalos de tempo 2,00 a 4,00 s e (h) 2,50 a 3,50 s. (i) Calcule também a velocidade instantânea para t= 3,00 s. (j) Calcule ainda a média das velocidades instantâneas para t= 2,00 s e para t=4,00 s. Quais são as conclusões que você pode tirar desses resultados?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem a posição de uma partícula se movendo ao longo do eixo dada por , onde está em segundos e em centímetros. Precisamos calcular a velocidade média em diferentes intervalos de tempo em torno de , além de calcular a velocidade instantânea nesse instante. Também vamos comparar com o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de cálculo de velocidade média e instantânea, além de entender a diferença entre movimentos com aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a velocidade média. A velocidade média barv = x(t2) - x(t1)t2 - t1 em um intervalo de tempo de a é dada por:
Ou seja, a mudança na posição dividida pelo intervalo de tempo.

Passo 3

Vamos resolver a parte (a): calcular a velocidade média no intervalo de x(4,00) = 9,75 + 1,50 times (4,00)^3 = 9,75 + 1,50 times 64 = 9,75 + 96 = 105,75,cm a x(2,00) = 9,75 + 1,50 times (2,00)^3 = 9,75 + 1,50 times 8 = 9,75 + 12 = 21,75,cm .
  1. Calcular barv = 105,75,cm - 21,75,cm4,00,s - 2,00,s = 84,cm2,00,s = 42,cm/s :
  1. Calcular :
  1. Calcular a velocidade média:

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): velocidade média no intervalo de x(3,50) = 9,75 + 1,50 times (3,50)^3 = 9,75 + 1,50 times 42,875 = 9,75 + 64,3125 = 74,0625,cm a x(2,50) = 9,75 + 1,50 times (2,50)^3 = 9,75 + 1,50 times 15,625 = 9,75 + 23,4375 = 33,1875,cm .
  1. Calcular barv = 74,0625,cm - 33,1875,cm3,50,s - 2,50,s = 40,875,cm1,00,s = 40,875,cm/s :
  1. Calcular :
  1. Calcular a velocidade média:

Passo 5

Vamos para a parte ©: velocidade média no intervalo de x(3,25) = 9,75 + 1,50 times (3,25)^3 = 9,75 + 1,50 times 34,3281 approx 9,75 + 51,4922 = 61,2422,cm a x(2,75) = 9,75 + 1,50 times (2,75)^3 = 9,75 + 1,50 times 20,7969 approx 9,75 + 31,1953 = 40,9453,cm .
  1. Calcular barv = 61,2422,cm - 40,9453,cm3,25,s - 2,75,s = 20,2969,cm0,50,s approx 40,5938,cm/s :
  1. Calcular :
  1. Calcular a velocidade média:

Passo 6

Parte (d): velocidade média no intervalo de x(3,10) = 9,75 + 1,50 times (3,10)^3 = 9,75 + 1,50 times 29,791 = 9,75 + 44,6865 approx 54,4365,cm a x(2,90) = 9,75 + 1,50 times (2,90)^3 = 9,75 + 1,50 times 24,389 approx 9,75 + 36,5835 = 46,3335,cm .
  1. Calcular barv = 54,4365,cm - 46,3335,cm3,10,s - 2,90,s = 8,103,cm0,20,s = 40,515,cm/s :
  1. Calcular :
  1. Calcular a velocidade média:

Passo 7

Parte (e): velocidade média no intervalo de x(3,05) = 9,75 + 1,50 times (3,05)^3 approx 9,75 + 1,50 times 28,357 approx 9,75 + 42,5355 = 52,2855,cm a x(2,95) = 9,75 + 1,50 times (2,95)^3 approx 9,75 + 1,50 times 25,691 approx 9,75 + 38,5365 = 48,2865,cm .
  1. Calcular barv = 52,2855,cm - 48,2865,cm3,05,s - 2,95,s = 3,999,cm0,10,s = 39,99,cm/s :
  1. Calcular :
  1. Calcular a velocidade média:

Passo 8

Parte (f): calcular a velocidade instantânea em v = 4,50 times (3,00)^2 = 4,50 times 9 = 40,50,cm/s usando a fórmula .
  1. Substituir :

Passo 9

Parte (g): agora considerando MRUV com x(4,00) = 9,75 + 1,50 times (4,00)^2 = 9,75 + 1,50 times 16 = 9,75 + 24 = 33,75,cm , calcular a velocidade média no intervalo de x(2,00) = 9,75 + 1,50 times (2,00)^2 = 9,75 + 1,50 times 4 = 9,75 + 6 = 15,75,cm a barv = 33,75,cm - 15,75,cm4,00,s - 2,00,s = 18,cm2,00,s = 9,cm/s .
  1. Calcular :
  1. Calcular :
  1. Calcular a velocidade média:

Passo 10

Parte (h): velocidade média no intervalo de x(3,50) = 9,75 + 1,50 times (3,50)^2 = 9,75 + 1,50 times 12,25 = 9,75 + 18,375 = 28,125,cm a x(2,50) = 9,75 + 1,50 times (2,50)^2 = 9,75 + 1,50 times 6,25 = 9,75 + 9,375 = 19,125,cm para MRUV.
  1. Calcular barv = 28,125,cm - 19,125,cm3,50,s - 2,50,s = 9,cm1,00,s = 9,cm/s :
  1. Calcular :
  1. Calcular a velocidade média:

Passo 11

Parte (i): calcular a velocidade instantânea em v = dxdt = 2 times 1,50 t = 3,00 t para MRUV. No MRUV, a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo.
  1. Derivar v = 3,00 times 3,00 = 9,00,cm/s :
  1. Substituir :

Passo 12

Parte (j): calcular a média das velocidades instantâneas em v(2,00) = 3,00 times 2,00 = 6,00,cm/s e v(4,00) = 3,00 times 4,00 = 12,00,cm/s para MRUV.
  1. Calcular barvmédia = 6,00,cm/s + 12,00,cm/s2 = 9,00,cm/s em :
  1. Calcular em :
  1. Calcular a média das velocidades instantâneas:
é

Resposta

Após todos os cálculos:
  • (a) Velocidade média de a :
  • (b) Velocidade média de a :
  • © Velocidade média de a :
  • (d) Velocidade média de a :
  • (e) Velocidade média de a :
  • (f) Velocidade instantânea em :
  • (g) Velocidade média para MRUV de a :
  • (h) Velocidade média para MRUV de a :
  • (i) Velocidade instantânea para MRUV em :
  • (j) Média das velocidades instantâneas em e :
Conclusões:
Para a partícula cujo movimento é definido por , as velocidades médias nos intervalos próximos a estão se aproximando do valor da velocidade instantânea ( ) à medida que os intervalos ficam mais próximos de . Isso ilustra como a velocidade instantânea pode ser considerada o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero.
Já para o movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), as velocidades médias nos intervalos também coincidem com a velocidade instantânea, que é constante para esse tipo de movimento. Isso mostra que, no MRUV, a velocidade média em qualquer intervalo de tempo é igual à velocidade instantânea correspondente àquele instante.

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